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第56页

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30°或150°

40°

$2 \sqrt{3}-2 $

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$证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O$

$∴∠ABC+∠ADC=180°$

$∵∠ABC=60°$

$∴∠ADC=180°-∠ABC=120°$

$∵DB 平分∠ADC$

$∴∠ADB=∠CDB=\frac{1}{2}∠ADC=60°$

$∴∠ACB=∠ADB=60°，$

$∠BAC=∠CDB=60°$

$∴∠ABC=∠ACB=∠BAC$

$∴△ABC是等边三角形$

$解：(2)过点A作AE⊥CD，交CD的延长线$

$于点E，过点B作BF⊥AC于点F$

$则∠AED=∠AFB=90°$

$∵∠ADC=120°$

$∴∠ADE=180°-∠ADC= 60°$

$∴∠DAE= 90°-∠ADE=30°$

$∴DE=\frac{1}{2}AD$

$∵AD=2$

$∴DE=1$

$∴AE= \sqrt{AD²-DE²}= \sqrt{3}$

$∵CD=4$

$∴S_{△ACD}=\frac{1}{2}\ \mathrm {CD}\ \cdot\ AE=2 \sqrt{3}，$

$CE=CD+DE=5$

$∴AC= \sqrt{AE²+CE²}=2 \sqrt{7}$

$∵△ABC 是等边三角形$

$∴AB=AC= 2 \sqrt{7}，AF=\frac{1}{2}\ \mathrm {AC}= \sqrt{7}$

$∴BF=\sqrt{AB²-AF²}= \sqrt{21}$

$∴S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC\ \cdot\ BF=7 \sqrt{3}$

$∴S_{四边形ABCD}=S_{△ACD}+S_{△ABC}=9 \sqrt{3}$

$∴四边形ABCD的面积为9 \sqrt{3}$