第69页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

A

$\sqrt{2} $

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$解：(1)直线BE与⊙O相切，理由如下：$

$连接OD $

$∵CD是⊙O的切线$

$∴OD⊥CD$

$∴∠ODE=90°$

$∵OE//AD$

$∴∠ODA=∠DOE，∠OAD=∠BOE$

$∵OA=OD$

$∴∠OAD=∠ODA$

$∴∠BOE=∠DOE$

$在△BOE和△DOE 中$

$\begin{cases}{OB=OD}\\{∠BOE=∠DOE}\\{OE=OE}\end{cases}$

$∴△BOE≌△DOE$

$∴∠OBE=∠ODE=90°$

$∴OB⊥BE$

$∵OB是⊙O的半径$

$∴直线BE与⊙O相切$

$解：(2)设⊙O 的半径为r$

$则OA=OB=OD= r$

$∵CA=2$

$∴OC=OA+CA=r+2$

$∵∠ODC=90°$

$∴OD²+CD²=OC²$

$∵CD=4$

$∴r²+4²=(r+2)²$

$解得r=3$

$∴OA=OB=3$

$∴BC=OA+OB+CA=8$

$∵ED，EB分别与⊙O相切于点D，B$

$∴DE=BE$

$设DE=BE=x$

$则CE=DE+CD=x+4$

$∵∠OBE=90°$

$∴BE²+BC²=CE²$

$即x²+8²=(x+4)²$

$解得x=6$

$∴DE的长为6$

$证明：(1)∵∠ACB=90°$

$∴AC⊥BC$

$∵OC 为⊙O的半径$

$∴BC是⊙O的切线$

$∵⊙O与边AB相切于点P$

$∴BC=BP$

$∴∠BCP=∠BPC$

$∴∠B=180°-∠BCP -∠BPC$

$=180°-2∠BCP=2(90°-∠BCP)$

$∵∠ACP=∠ACB-∠BCP=90°-∠BCP$

$∴∠B=2∠ACP$

$解：(2)当点O在BC上时，连接OA，OP$

$∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6$

$∴AC⊥BC，AB= \sqrt{AC²+BC²}=10$

$∵OC为⊙O的半径$

$∴AC为⊙O的切线$

$∵⊙O与边AB相切于点P$

$∴OP⊥AB，AP=AC=8$

$∴∠OPB =90°，BP =AB-AP=2$

$设OC=OP=x$

$则OB=BC-OC=6-x$

$∵OP²+BP²=OB²$

$∴x²+2²=(6-x)²$

$解得x=\frac{8}{3}$

$∴OC=\frac{8}{3}$

$∴OA= \sqrt{OC²+AC²}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$

$∵AC=AP，OC=OP$

$∴OA垂直平分CP$

$∴S_{四边形ACOP}=\frac{1}{2}AC\ \cdot\ OC+\frac{1}{2}AP\ \cdot\ OP$

$=\frac{1}{2}\ \mathrm {OA}\ \cdot\ CP$

$∴CP=\frac{2AC\ \cdot\ OC}{OA}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$

$∵点O在△ABC 的外部$

$∴CP＞\frac{8\sqrt{10}}{5}$

$当点P 与点A 重合时，CP 最长，此时CP=8$

$综上所述，当点O在△ABC的外部时，$

$CP 长的取值范围为\frac{8\sqrt{10}}{5}＜CP≤8$