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$解：∵∠C=90°，AC=12，AD=13$

$∴CD^2=AD^2-AC^2=25$

$∴CD=5$

$∵AD是BC边上的中线$

$∴BC=2CD=10$

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证明：如图：

∵∠CAO=∠EAO=45°

∴∠CAE=45°×2=90°=∠COD

∴△ACE和△BDF都是直角三角形分别为a，b的直角三角形

∴在△ACE和△OCD中，

$\begin{cases}{AC=OC} \\ {∠CAE=∠COD} \\{AE=OD}\end{cases}$

∴△ACE≌△OCD(SAS)

同理可证△BDF≌△ODC(SAS)

∴CE=DF=DC=c，∠1=∠2

∴∠2+∠OCE=∠1+∠OCE

可得∠DCE=∠OCA=90°.

同理，可知∠CEF=∠EFD=∠FDC=90°，

正方形CDEF的面积为c²

∴图①的面积 $S_{1}$=a²+b²+2× $\frac12$ab=a²+b²+ab

图②的面积 $S_{2}$=c²+2× $\frac12$ab=c²+ab

∵ $S_{1}=S_{2}$

∴a²+b²+ab=c²+ab，即a²+b²=c²