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$ 证明：(1)连接AD$
$ 因为AB是圆O的直径，AB⊥CD$
$ 所以\widehat{BC}=\widehat{BD}，所以∠CAB=∠BAD$
$ 因为∠BOD=2∠BAD$
$ 所以∠BOD=2∠CAB.$
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$证明：(1)连接OD，则OD=OA，$
$∴∠ODA=∠OAD，$
$∵AD平分∠CAB，$
$∴∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，$
$∴OD//AC，∵DE⊥AC，$
$∴∠ODF=∠AED=90°，$
$∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，$
$∴直线DE是⊙O的切线．$
$证明：连接圆心O与C点，$

$∵OC=OF，$
$∴∠OCF=∠OFC，$
$∵∠OFC=∠DFA，$
$∴∠OCF=∠DFA，$
$在正方形ABCD中，$
$DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，$
$在△ADE和△CDE中，$
$\begin{cases}{DA=DC }\\{∠ADE=∠CDE} \\ {DE=DE} \end{cases}$
$∴△ADE≌△CDE(\mathrm {SAS})，$
$∴∠DAE=∠DCE， $
$∵∠DAE+∠DFE=90°，$
$∴∠DCE+∠OCF=90°，$
$即∠OCE=90°，∵OC⊥CE且C在圆上，$
$∴CE是圆的切线． $
$解：(1)直线BE与⊙O相切，理由：$
$连接OD，$

$∵CD与⊙O相切于点D，$
$∴∠ODE=90°，$
$∵AD//OE，$
$∴∠ADO=∠DOE，∠DAO=∠EOB，$
$∵OD=OA，$
$∴∠ADO=∠DAO，∴∠DOE=∠EOB，∵OD=OB，OE=OE，$
$∴△DOE≌△BOE(\mathrm {SAS})，∴∠OBE=∠ODE=90°，$
$∵OB是⊙O的半径，$
$∴直线BE与⊙O相切. $
$(2)设⊙O的半径为r，$
$在Rt△ODC中，$
$OD^2+DC^2=OC^2，$
$∴r^2+4^2=(r+2)^2，$
$∴r=3，∴AB=2r=6，$
$∴BC=AC+AB=2+6=8，$
$由(1)得：△DOE≌△BOE，$
$∴DE=BE，$
$在Rt△BCE中，$
$BC^2+BE^2=CE^2，$
$∴8^2+BE^2=(4+DE)^2，$
$∴64+DE^2=(4+DE)^2，$
$∴DE=6. $
$(2)连接OC$

$因为F是AC的中点$
$所以DF⊥AC$
$所以AD=CD$
$所以∠ADO=∠CDF$
$因为\widehat{BC}=\widehat{BD}$
$所以∠CAB=∠DAO$
$因为OA=OD$
$所以∠OAD=∠ODA$
$所以∠CDF=∠CAB$
$因为OC=OD$
$所以∠CDF=∠OCD$
$所以∠OCD=∠CAB$
$因为\widehat{BC}=\widehat{BC}$
$所以∠CAB=∠CDE$
$所以∠CDE=∠OCD$
$因为∠E=90°$
$所以∠CDE+∠DCE=90°$
$所以∠OCD+∠DCE=90°$
$所以OC⊥CE$
$因为OC为半径$
$所以直线CE是圆O的切线.$
$(2)证明：∵线段AB是⊙O的直径，$
$∴∠ADB=90°， $
$∴∠ADM=180°-∠ADB=90°，$
$∴∠M+∠DAM=90°，∠ABM+∠DAB=90°，$
$∵∠DAM=∠DAB， $
$∴∠M=∠ABM， $
$∴AB=AM． $

$(3)解：∵∠AEF=90°，∠F=30°，$
$∴∠BAM=60°，$
$∴△ABM是等边三角形，$
$∴∠M=60°，$
$∵∠DEM=90°，ME=1，$
$∴∠EDM=30°，$
$∴MD=2ME=2，$
$∴BD=MD=2，$
$∵∠BDF=∠EDM=30°，$
$∴∠BDF=∠F，$
$∴BF=BD=2．$
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