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C
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解：​$(1)w=(x-12)(28-x)-50$​
​$= -x²+40x-386$​
​$(2)①$​∵该日用品第一年的利润为​$14$​万元
∴​$14=-x²+40x-386$​
解得​$x_{1}=x_{2}=20$​
答：该日用品第一年的售价是​$20$​元​$/$​件​$.$​
②∵第二年日用品售价不超过第一年的售价，
销售量不超过​$13$​万件
∴​$\begin {cases}{x≤20}\\{28-x≤13}\end {cases}$​
解得​$15≤x≤20$​
设第二年的利润是​$w'$​万元
则​$w'=(x-10)(28-x)-14$​
​$=-x²+38x-294$​
∵抛物线开口向下，对称轴为
直线​$x=19$​，​$15≤x≤20$​
∴​$x=15$​时，​$w'$​有最小值，最小值为
​$(15-10)×(28-15)-14=51$​
答：第二年的利润最少为​$51$​万元​$.$​
解：​$(1)$​根据题意，得​$x(-x+22)=120$​
解得​$x_{1}= 10$​，​$x_{2}=12$​
∵​$10$​和​$12$​都在​$6≤x≤16$​内
∴每件售价为​$10$​元或​$12$​元
​$(2)$​当​$6≤y＜10$​时，​$12＜x≤16$​
设​$P=ay+n(a≠0)$​
把​$(6$​，​$50)$​，​$(10$​，​$90)$​代入
得​$\begin {cases}{50=6a+n}\\{90=10a+n}\end {cases}$​，解得​$\begin {cases}{a=10}\\{n=-10}\end {cases}$​
∴​$P=10y-10$​
设总利润为​$w$​万元
则​$w=yx--P=(-x+22)x-10(-x+22)+10$​
​$=-x²+32x-210=-(x-16)²+46$​
∵​$-1＜0$​，​$12＜x≤16$​
∴当​$x=16$​时，​$w$​最大，最大值为​$46$​
当​$10≤y≤16$​时，​$6≤x≤12$​，
​$w=yx-P$​
​$=(-x+222)x-[-\frac {1}{5}(-x+22)²+10(-x+22)+10]$​
​$=-\frac {4}{5}x^2+\frac {116}{5}x- \frac {666}{5}$​
∵函数图象的对称轴为直线​$x=-\frac {b}{2a}=\frac {29}{2}＞12$​
∴当​$x=12$​时，​$w$​最大，最大值为​$30$​
∵​$46＞30$​
∴当售价为​$16$​元​$/$​件时，利润最大，
最大利润是​$46$​万元
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