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D
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解：​$(1)$​如图所示
证明：​$(2)$​连接​$OA$​，​$OB$​
∵​$OP $​是​$\odot M$​的直径
∴​$∠PAO=∠PBO=90°$​
在​$Rt△OPA$​与​$Rt△OPB$​中
​$\begin {cases}{OP=OP}\\{OA=OB}\end {cases}$​
∴​$Rt△OPA≌Rt△OPB(\mathrm {HL})$​
∴​$∠APO=∠BPO$​
证明：​$(1)$​连接​$OD$​
∵​$∠ACB=90°$​，​$CE$​为半圆的直径
∴​$BC$​为半圆​$O$​的切线
∵半圆​$O$​与​$AB$​相切于点​$D$​
∴​$BD=BC$​
解：​$(2)$​∵​$∠A=30°$​，​$∠ACB=90°$​
∴​$∠ABC=60°$​
易知​$Rt△ODB≌Rt△OCB$​
∴​$∠CBO=∠DBO=\frac {1}{2}∠ABC=30°.$​
在​$Rt△OBC$​中，​$OC=1$​
∴​$OB=2OC=2$​
∴​$BC= \sqrt {2²-1²}=\sqrt {3}$​
在​$Rt△ABC$​中，​$∠A=30°$​
∴​$AB=2BC=2\sqrt 3$​
C
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