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证明：​$(1)$​∵​$AB$​是​$⊙O$​的直径
∴​$∠C=∠ADB=90°$​
在​$ Rt △ABC $​和​$ Rt △BAD $​中
​$\begin {cases}{AB=BA}\\{AC=BD}\end {cases}$​
∴​$Rt△ABC≌Rt△BAD(\mathrm {HL})$​
∴​$BC=AD$​，​$∠ABC=∠BAD$​
∴​$AE=BE$​
∴​$CE=DE$​
解：​$(2)$​∵​$∠ADB=90°$​
∴​$BD⊥AF$​
∵​$DF=DE$​
∴​$BE=BF$​
∴​$∠BEF=∠F$​
∵​$AD$​平分​$∠BAC$​
∴​$∠CAE=∠BAF$​
∵​$∠C=90°$​
∴​$∠CAE+∠AEC=90°$​
∵​$∠AEC=∠BEF$​
∴​$∠CAE+∠BEF=90°$​
∴​$∠BAF+∠F=90°$​
∴​$∠ABF=90°$​
∴​$AB⊥BF$​
∵​$OB$​是​$⊙O$​的半径
∴​$BF $​是​$⊙O$​的切线

证明：​$(1)$​如图，连接​$OC$​
∵点​$C$​为​$\widehat {AB}$​的中点
∴​$\widehat {AC}=\widehat {BC}$​
∴​$∠AOC=∠BOC$​
∵​$∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°$​
∴​$∠BOC=60°$​
又∵​$OB=OC$​
∴​$△BOC$​为等边三角形
∴​$∠OBC=60°$​
∴​$∠OBC+∠BOA=180°$​
∴​$OA//BD$​
∵​$BD⊥MN$​
∴​$OA⊥MN$​
又∵​$OA$​是​$⊙O$​的半径
∴直线​$MN$​是​$⊙O$​的切线
解：​$(2)$​过点​$O$​作​$OE⊥BC$​于​$E$​
则四边形​$OADE $​是矩形
∴​$DE=OA=4$​
∵​$OB=OC$​，​$OE⊥BC$​
∴​$CE=BE=\frac {1}{2}BC$​
由​$(1)$​知​$△BOC$​是等边三角形
∴​$CE=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}OC=2$​
∴​$CD=DE-CE=4-2=2$​

证明：​$(1)$​如图，连接​$OE$​
∵​$BE$​平分​$∠FBA$​
∴​$∠FBE=∠EBA$​
∵​$OB=OE$​
∴​$∠EBA=∠OEB$​
∴​$∠FBE=∠OEB$​
∴​$OE//BF$​
∵​$EF⊥BC$​
∴​$OE⊥GF$​
∵​$OE$​是​$⊙O$​的半径
∴​$GF $​是​$⊙O$​的切线
解：​$(2)$​过点​$O$​作​$OM⊥BD$​于​$M$​
则四边形​$OEFM $​是矩形
∴​$OM=EF=4$​
∵​$AB=10$​，∴​$OB=5$​
∴​$BM=\sqrt {OB²-OM²}= \sqrt {5²-4²}=3$​
∵​$OM⊥BD$​
∴​$BD=2BM =6$​

解：​$(1)$​如图，连接​$OB$​
∵​$AB⊥OC$​，​$∠AOC=60°$​
∴​$∠OAB=30°$​
∵​$OB=OA$​
∴​$∠OBA=∠OAB=30°$​
∴​$∠BOC=60°$​
∵​$OB=OC$​
∴​$△OBC$​为等边三角形
∴​$BC=OC$​
∵​$OC=2$​，∴​$BC=2$​
证明：​$(2)$​由​$(1)$​知，​$△OBC$​为等边三角形
∵​$OC=CP$​，∴​$BC=PC$​
∴​$∠P=∠CBP$​，∴​$∠OCB=2∠P$​
∵​$∠OCB=60°$​，∴​$∠P=30°$​
∴​$∠OBP=90°$​，即​$OB⊥PB$​
∵​$OB$​是​$⊙O$​的半径
∴​$PB$​是​$⊙O$​的切线
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