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证明：​$(1)$​∵​$AB=AC$​
∴​$∠ACB=∠ABC$​
∵​$AB=AD$​
∴​$∠ADB=∠ABD$​
∵​$∠ADB=∠ACF$​
∴​$∠ACF=∠ABD$​
∴​$∠ACB-∠ACF=∠ABC-∠ABD$​，
即​$∠BCF=∠CBF$​
∴​$CF=BF$​
解：​$(2)$​连接​$CO$​并延长交​$⊙O$​于​$G $​点，连接​$GF$​
∵​$CG $​为​$⊙O$​的直径
∴​$∠GFC= 90°$​
∴​$∠G+ ∠GCF= 90°$​
∵​$∠CDB= ∠G$​
∴​$∠CDB+∠GCF= 90°$​
∵​$CD = CB$​
∴​$∠CDB=∠CBD$​
∵​$∠BCF= ∠CBD$​
∴​$∠BCF=∠CDB$​
∴​$∠BCF+∠GCF=90°$​
∴​$∠BCG=90°$​
∴​$CG⊥BC$​
∵​$CG $​为​$⊙O$​的直径
∴​$CB$​是​$⊙O$​的切线

证明：​$(1)$​连接​$OC$​
∵​$AB$​为直径
∴​$∠ACB= 90°$​，即​$∠BCO+∠OCA=90°$​
∵​$OC= OA $​
∴​$∠CAD= ∠OCA$​
∵​$∠DCB=∠CAD$​
∴​$∠OCA=∠DCB$​
∴​$∠DCB +∠BCO=90°$​，即​$∠DCO= 90°$​
∵​$OC$​是​$⊙O$​的半径
∴​$CD$​是​$⊙O$​的切线
解：​$(2)$​∵​$∠DCO=90°$​
∴​$OC²+CD²=OD²$​
∵​$OC=OB$​，​$CD=4$​，​$DB=2$​
∴​$OB²+4²=(OB+2)²$​
∴​$OB=3$​
∴​$AB=6$​
∵​$AE⊥AD$​，​$AB$​是​$⊙O$​的直径
∴​$AE$​是​$⊙O$​的切线
∵​$CD$​是​$⊙O$​的切线
∴​$AE=CE$​
∵​$AD^2+AE^2=DE^2$​
∴​$(6+2)²+AE²=(4+AE)²$​
解得​$AE=6$​

证明：​$(1)$​连接​$OE$​，过点​$O$​作​$OF⊥CD $​于​$F$​
∵​$BC$​切​$⊙O$​于点​$E$​
∴​$OE⊥BC$​，​$OE=OA$​
∵​$AC$​为正方形​$ABCD$​的对角线
∴​$∠ACB=∠ACD$​
∴​$OF=OE=OA$​
∴​$CD$​是​$⊙O$​的切线
解：​$(2)$​∵四边形​$ABCD$​为正方形，边长为​$10$​
∴​$AB=BC=10$​，​$∠B=90°$​，​$∠ACB=45°$​
∴​$AC= \sqrt {AB²+BC²}=10\sqrt 2$​
∵​$OE⊥BC$​
∴​$OE=EC$​
设​$OA=r$​，则​$ OE=EC=r$​
∴​$OC= \sqrt {OE²+EC²}=\sqrt {2}r$​
∵​$OA+OC=AC$​
∴​$r+\sqrt {2}r=10\sqrt 2$​
解得​$r=20-10\sqrt 2$​
∴​$⊙O$​的半径为​$20-10\sqrt 2$​

证明：​$(1)$​过​$O$​点作​$OE⊥CD$​于点​$E$​
∵​$AM$​切​$⊙O$​于点​$A$​
∴​$OA⊥AD$​
∵​$DO$​平分​$∠ADC$​
∴​$OE=OA$​
∵​$OA$​为​$⊙O$​的半径
∴​$OE$​是​$⊙O$​的半径
又​$OE⊥DC$​
∴​$CD$​是​$⊙O$​的切线
解：​$(2)$​过​$D$​作​$DF⊥BC$​于​$F$​
∵​$AB$​是​$⊙O$​的直径，
​$AM$​，​$BN$​分别切​$⊙O$​于点​$A$​，​$B$​
∴​$AB⊥AD$​，​$AB⊥BC$​
∴四边形​$ABFD$​为矩形
∴​$BF=AD=4$​，​$AB=DF$​
∴​$CF=BC-BF=5$​
∵​$DC$​，​$AM$​，​$BC$​为​$⊙O$​的切线
∴​$DE=DA=4$​，​$CE=CB=9$​
∴​$DC=DE+CE=13$​
在​$Rt△DCF{中}$​，​$DF= \sqrt {DC²-CF²}=12$​
∴​$AB=12$​，∴​$OA=6$​
在​$Rt△OAD$​中，​$OD= \sqrt {OA²+AD²}=2 \sqrt {13}$​
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