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$解：BF=EF，理由:$
$如图，过点E作EH⊥AC于点H$
$则∠EHF=∠A=∠EHC=90°$
$∵CE⊥CD$
$∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°$
$又∵∠ECH+∠HEC=90°$
$∴∠ACD=∠HEC$
$又∵CE=CD,∠A=∠CHE$
$∴△ADC≌△HCE(AAS)$
$∴AC=HE$
$又∵AB=AC$
$∴AB=HE$
$又∵∠A=∠EHF$
$∠AFB=∠HFE$
$∴△ABF≌△HEF(AAS)$
$∴BF=EF$

$2.证明:如图，过点C作CF//AB交BD延长线于点F\ $
$∵CF//AB$
$∴∠BCF+∠ABC=180°$
$又∵∠BCE+∠ACB=180°$
$∠ABC=∠ACB$
$∴∠BCF=∠BCE$
$又∵BC=BC,∠DBC=∠EBC\ $
$∴△BCF≌△BCE(ASA)$
$∴CF=CE$
$∵AB=CE$
$∴CF=AB$
$∵CF//AB$
$∴∠A=∠DCF$
$又∵∠ADB=CDF$
$∴△ADB≌△CDF(AAS)$
$∴AD=CD$
$∴D是线段AC的中点$
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