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$证明:过点E 向左作EF//AB.\ ∵ AB∥CD,$
$∴EF∥CD.$
$ ∴∠DEF=∠D.$
$又∵∠D=∠2,$
$∴∠DEF=∠2.$
$同理,由EF∥AB,∠1=∠B,可得∠BEF=∠1.$
$又∵∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°,$
$∴∠1+∠2=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°.$
$∴BE⊥DE$
B
50°或130°
$解:(1)如图①,∠3与∠4互为同旁外角$
$(2)如图②.∵直线a//b,$
$∴∠3+∠4=180°.$
$又∵∠1=∠3,∠2=∠4,$
$∴∠1+∠2=180°.$
$∵∠1=125°,$
$∴∠2=180°−∠1=55°$
$(3)如图③.$
$∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,$
$∴∠2=∠3.$
$∴a//b$
$ 结论:同旁外角互补，两直线平行$
$解:(1)∵EO⊥CD,$
$∴∠DOE=90°.$
$又∵∠BOD=∠AOC=36°,$
$∴∠BOE=90°−36°=54°$
$(2)∵∠BOD:∠BOC=1: 5,$
$∴∠BOD=\frac{1}{6}∠COD=30°.$
$∴∠AOC=30°.$
$又∵EO⊥CD,$
$∴∠COE=90°.$
$∴∠AOE=90°+30°=120°$
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$解:(3)如图,$
$分两种情况讨论:若点F在射线OM上，$
$∵ EO⊥CD,$
$∴∠DOE=90°.$
$∴∠BOE=90°−∠BOD=60°.$
$∵MN⊥AB,$
$∴∠BOM=90°.$
$∴∠EOF=∠BOM−∠BOE=30°.$
$若点F在$
$射线ON上,即在点F'处,$
$则易得∠EOF'=∠BOE+∠BON$
=$60°+90°$
$=150°.$
$综上所述，∠EOF的度数为30°或150°$
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