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18或14
​$ (1)$​证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AD = BC，$​​$AD// BC，$​∴​$∠ABC+∠BAD = 180°，$​
∵​$AF// BE，$​∴​$∠EBA+∠BAF = 180°，$​
∴​$∠CBE=∠DAF，$​同理得​$∠BCE=∠ADF.$​
​$ $​在​$\triangle BCE$​和​$\triangle ADF_{中}，$​
​$\begin {cases}∠CBE=∠DAF，\\BC = AD，\\∠BCE=∠ADF，\end {cases}$​
∴​$\triangle BCE\cong\triangle ADF(\text{ASA}).$​
​$ (2)$​解：∵点​$E$​在​$▱ ABCD$​的内部，
∴​$S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}=\frac {1}{2}S_{\square ABCD}，$​
由
​$ (1)$​知​$\triangle BCE\cong \triangle ADF，$​∴​$S_{\triangle BCE}=S_{\triangle ADF}，$​
∴​$S_{四边形AEDF}=S_{\triangle ADF}+S_{\triangle AED}=S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}=\frac {1}{2}S_{▱ ABCD}，$​
∵​$▱ ABCD$​的面积为​$6，$​∴四边形​$AEDF $​的面积为​$3.$​
(1)解：如图①，过点$D$作$DH\perp AB$于点$H，$连接$DB.$
$\because AD = 3\sqrt{2}，$$\angle A = 45^{\circ}，$$\therefore AH = DH=\frac{1}{\sqrt{2}}AD = 3.$
又$\because AB = 5，$$\therefore HB = AB - AH = 2.$
在$\text{Rt}\triangle BDH$中，由勾股定理，得$BD=\sqrt{DH^{2}+HB^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}.$
(2)如图②，直线$AF$即为所求.
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