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$\sqrt{10}$
$\frac{120}{17}$
解：如图，连接$EG，$
$\because E$是$CD$的中点，$\therefore DE = CE，$由折叠的性质，得$AF = AD = 10，$$\angle AFE=\angle D = 90^{\circ}，$$FE = DE，$
$\therefore\angle EFG = 90^{\circ}=\angle C，$$FE = CE.$
在$\text{Rt}\triangle CEG$和$\text{Rt}\triangle FEG$中，
$\begin{cases}EG = EG,\\CE = FE,\end{cases}$$\therefore\text{Rt}\triangle CEG\cong\text{Rt}\triangle FEG(\text{HL})，$
$\therefore CG = FG.$设$CG = FG = y，$
则$AG = AF + FG = 10 + y，$$BG = BC - CG = 10 - y，$
在$\text{Rt}\triangle ABG$中，由勾股定理，得$6^{2}+(10 - y)^{2}=(10 + y)^{2}，$
解得$y=\frac{9}{10}，$即$CG$的长为$\frac{9}{10}.$

解：连接​$BO$​

∵四边形 ​$ABCD$​ 是矩形，∴​$DC// AB$​，​$∠DCB = 90°$​。
∴​$∠FCO=∠EAO$​。
在 ​$\triangle COF$​ 和 ​$\triangle AOE$​ 中，
​$\{\begin {array}{l}∠FCO=∠EAO，\\∠COF=∠AOE，\\CF = AE，\end {array}.$​
∴​$\triangle COF\cong \triangle AOE(\mathrm {AAS})$​，∴​$OE = OF$​，​$OA = OC$​。
∵​$BF = BE$​，∴​$BO\perp EF$​，
在 ​$Rt\triangle BEO$​ 中，​$∠BEF+∠ABO = 90°$​，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 ​$BO = AO = OC$​，
∴​$∠BAC=∠ABO$​，
又∵​$∠BEF = 2∠BAC$​，​$∠BEF+∠ABO = 90°$​，
∴​$2∠BAC+∠BAC = 90°$​，∴​$∠BAC = 30°$​，
∵​$BC = 2\sqrt {3}$​，∴​$AC = 2BC = 4\sqrt {3}$​，
∴​$AB=\sqrt {AC^2-BC^2} = 6$​。∴​$AB$​ 的长为 ​$6$​。
(1)证明：∵四边形 ​$ABCD$​ 是矩形，
∴​$AB = CD$​，​$∠A=∠C = 90°$​，​$AB// CD$​，
∴​$∠ABD=∠BDC$​。
∵​$\triangle BEH$​ 是 ​$\triangle BAH$​ 翻折而成的，
∴​$∠ABH=∠EBH$​，​$∠A=∠HEB = 90°$​，​$AB = BE$​。
∴​$∠DBH=\frac {1}{2}∠ABD$​，
∵​$\triangle DGF$​ 是 ​$\triangle DGC$​ 翻折而成的，
∴​$∠FDG=∠CDG$​，​$∠C=∠DFG = 90°$​，​$CD = DF$​。
∴​$∠BDG=\frac {1}{2}∠BDC$​，​$BE = DF$​。
∴​$∠DBH=∠BDG$​。
在 ​$\triangle BEH$​ 与 ​$\triangle DFG$​ 中，​$∠HEB=∠DFG$​，​$BE = DF$​，
​$∠DBH=∠BDG$​，∴​$\triangle BEH\cong \triangle DFG$​。
(2)解：∵四边形 ​$ABCD$​ 是矩形，​$AB = 6\mathrm{cm}$​，​$BC = 8\mathrm{cm}$​，
∴​$AB = CD = 6\mathrm{cm}$​，​$AD = BC = 8\mathrm{cm}$​。
∴​$BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10(\mathrm{cm})$​。
由(1)知，​$FD = CD$​，​$CG = FG$​，∴​$BF = 10 - 6 = 4(\mathrm{cm})$​。
设 ​$FG = x\mathrm{cm}$​，则 ​$BG=(8 - x)\mathrm{cm}$​，
在 ​$\mathrm{Rt}\triangle BGF$​ 中，​$BG^2=BF^2+FG^2$​，即 ​$(8 - x)^2=4^2+x^2$​，
解得 ​$x = 3$​，即 ​$FG = 3\mathrm{cm}$​。
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