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第42页

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矩形

100 cm

$\angle ABC = 90^{\circ}$（答案不唯一）

 (1)证明：

 因为$AB = AC，$$D$是$BC$的中点，根据等腰三角形三线合一性质，所以$AD\perp BC，$则$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}。$

 又因为$CE// AD，$所以$\angle ECD=\angle ADB = 90^{\circ}。$

 因为$AE\perp AD，$所以$\angle DAE = 90^{\circ}。$

 在四边形$ADCE$中，$\angle ADC = 90^{\circ}，$$\angle DAE = 90^{\circ}，$$\angle ECD = 90^{\circ}，$有三个角是直角的四边形是矩形，所以四边形$ADCE$是矩形。

 (2)解：

 因为$BC = 4，$$D$是$BC$的中点，所以$CD=\frac{1}{2}BC = 2。$

 因为四边形$ADCE$是矩形，所以$AE = CD = 2，$$\angle AEC = 90^{\circ}。$

 在$Rt\triangle AEC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}。$

 因为$EF\perp AC，$根据三角形面积公式$S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}AE\cdot CE=\frac{1}{2}AC\cdot EF。$

 所以$EF=\frac{AE\cdot CE}{AC}=\frac{2\times3}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}。$