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第43页

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 (1)解：如答图，线段$BO$即为所作

 (2)证明：

 因为$BO$是$AC$边上的中线，所以$AO = CO。$

 因为将中线$BO$绕点$O$逆时针旋转$180^{\circ}$得到$DO，$所以$BO = DO。$

 在四边形$ABCD$中，$AO = CO，$$BO = DO，$对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。

 又因为$\angle ABC = 90^{\circ}，$有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$ABCD$是矩形。

 (1)证明：

 由题意，得$AE = CF=t\ cm。$

 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AO = CO，$$BO = DO。$

 因为点$E，$$F$不重合，所以$AO - AE=CO - CF，$即$EO = FO。$

 在四边形$DEBF$中，$EO = FO，$$BO = DO，$对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形$DEBF$是平行四边形。

 (2)解：

 因为$AO = CO=\frac{1}{2}AC = 8\ cm，$$BO = DO=\frac{1}{2}BD = 6\ cm。$

 当$OE = OB$时，四边形$DEBF$是矩形。

 此时$AO - AE=BO$或$AE - AO=BO，$即$8 - t=6$或$t - 8=6。$

 当$8 - t=6$时，解得$t = 2；$当$t - 8=6$时，解得$t = 14。$

 所以当$t = 2\ s$或$14\ s$时，四边形$DEBF$是矩形。

$t$

$26 - 3t$

 (2)解：

 由题意可得$PD = AD - AP=(24 - t)\ cm，$$QC = 3t\ cm。$

 因为$AD// BC，$所以$PD// QC。$

 当$PD = QC$时，四边形$PQCD$为平行四边形。

 由$PD = QC$得$24 - t=3t，$

 移项可得$3t + t=24，$

 即$4t = 24，$

 解得$t = 6。$

 所以当运动时间为$6\ s$时，四边形$PQCD$为平行四边形。

 (3)解：

 因为$AD// BC，$所以$AP// BQ。$

 当$AP = BQ$时，四边形$ABQP$为平行四边形。

 由$AP = BQ，$得$t = 26 - 3t，$

 移项可得$t+3t = 26，$

 即$4t = 26，$

 解得$t=\frac{13}{2}。$

 又因为$\angle B = 90^{\circ}，$有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$ABQP$为矩形。

 所以当运动时间为$\frac{13}{2}\ s$时，四边形$ABQP$为矩形。