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​$(1)$​证明：
∵ ​$ED \perp BC$​，∴ ​$∠EDB = 90°$​。
∵ ​$∠C = 90°$​，∴ ​$∠EDB = ∠C$​。
∴ ​$AC // ED$​。∴ ​$∠CFD = ∠FDE$​。
由翻折知 ​$∠A = ∠FDE$​，则 ​$∠A = ∠CFD$​。
∴ ​$DF // AE$​。∴ 四边形 ​$AFDE$​ 是平行四边形。
由翻折知 ​$AF = DF$​，∴ 平行四边形 ​$AFDE$​ 是菱形。
(2)解：设 ​$CF = x$​，则由翻折知 ​$DF = AF = 6 - x$​，
由勾股定理，得 ​$DF^2 = CF^2 + CD^2$​，
即 ​$(6 - x)^2 = x^2 + 2^2$​，解得 ​$x = \frac {8}{3}$​，则 ​$DF = 6 - x = \frac {10}{3}$​。
∴ 菱形 ​$AFDE$​ 中，​$ED = FD = \frac {10}{3}$​。
$\frac{3}{8}$
(1)证明：由翻折的性质，可知$\angle A=\angle DGE，$$\angle C=\angle DGF，$$AD = DG，$$DC = DG，$所以$AD = DC.$
因为$\angle A=\angle B = 90^{\circ}，$所以$\angle C=\angle DGE=\angle DGF = 90^{\circ}，$
所以四边形$ABCD$是矩形.
又因为$AD = DC，$所以矩形$ABCD$是正方形.
(2)解：设$AE = x.$
因为$F$是$BC$的中点，$AB = 6 = BC，$所以$BF = CF = 3.$
由翻折可知$AE = EG = x，$$CF = GF = 3，$
所以$BE = 6 - x，$$EF = x + 3.$
在$Rt\triangle BEF$中，$\angle B = 90^{\circ}，$
所以$EF^{2}=BE^{2}+BF^{2}，$
即$(x + 3)^{2}=(6 - x)^{2}+3^{2}，$
展开得$x^{2}+6x + 9 = 36 - 12x+x^{2}+9，$
移项得$6x + 12x = 36 + 9 - 9，$
即$18x = 36，$
解得$x = 2，$所以$AE = 2.$
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