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圆心

 解：因为关于$x$的一元二次方程$2x^{2}-2\sqrt{2}x + m - 1 = 0$有实数根，所以$\Delta=(-2\sqrt{2})^{2}-4\times2\times(m - 1)\geqslant0，$即$8 - 8(m - 1)\geqslant0，$$8 - 8m + 8\geqslant0，$$16 - 8m\geqslant0，$解得$m\leqslant2。$因为$\odot O$的半径为$2，$$OP = m，$所以点$P$在$\odot O$上或$\odot O$内。