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①②⑤⑥

$150^{\circ}$

 解：如图，连接$OA，$$OB，$$OF。$因为四边形$DEFG$是面积为$16 cm^{2}$的正方形，所以$\angle DEF = 90^{\circ}，$$DE = EF = 4 cm。$因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle BCO = \angle ADO = 90^{\circ}，$$BC = CD = AD。$在$Rt\triangle BCO$和$Rt\triangle ADO$中，$\begin{cases}OB = OA\\BC = AD\end{cases}，$所以$Rt\triangle BCO\cong Rt\triangle ADO，$所以$OC = OD。$设$OC = OD = x cm，$则$OE = OD + DE = (x + 4) cm，$$BC = CD = OC + OD = 2x cm，$所以$OB=\sqrt{BC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{5}x cm，$所以$OF = OB = \sqrt{5}x cm。$因为$OE^{2}+EF^{2}=OF^{2}，$所以$(x + 4)^{2}+4^{2}=(\sqrt{5}x)^{2}，$即$x^{2}+8x + 16 + 16 = 5x^{2}，$$4x^{2}-8x - 32 = 0，$$x^{2}-2x - 8 = 0，$因式分解得$(x - 4)(x + 2)=0，$解得$x_{1}=4，$$x_{2}=-2$（不合题意，舍去），所以$OB = 4\sqrt{5} cm。$故该半圆的半径为$4\sqrt{5} cm。$