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​$(1)$​解：如图所示
​$(2)$​证明：在​$DA$​上截取​$G D = CD，$​连接​$GE$​
∵​$DE$​是​$∠ADC$​的平分线，∴​$∠G DE=∠CDE$​
在​$\triangle G-DE$​和​$\triangle CDE$​中
​$\begin {cases}G D = CD \\∠G DE=∠CDE \\DE = DE\end {cases}$​
∴​$\triangle G DE≌\triangle CDE(S AS)$​
∴​$∠DGE=∠C = 90°，$​​$∠DEG=∠DEC=\frac 12∠CEG$​
∴​$∠AGE = 180°-∠DGE = 90°，$​∴​$∠AGE=∠B = 90°$​
∴​$\triangle AGE$​和​$\triangle ABE$​均是直角三角形
∵​$AD = AG + G D = AB + CD，$​​$G D = CD，$​∴​$AG = AB$​
在​$Rt\triangle AEG $​和​$Rt\triangle AEB$​中
​$\begin {cases}AE = AE \\AG = AB\end {cases}$​
∴​$Rt\triangle AEG≌Rt\triangle AEB(\mathrm {HL})，$​∴​$∠AEG=∠AEB=\frac 12∠BEG$​
∴​$∠AED=∠DEG+∠AEG=\frac 12(∠CEG+∠BEG)=\frac 12×180°=90°，$​∴​$AE\perp DE$​

​$ (1) EF = BE - AF$​
证明：∵​$∠α+∠BCA = 180°，$​∴​$∠α+∠BCE+∠ACF = 180°$​
∵​$\triangle ACF $​的内角和为​$180°$​
∴​$∠α+∠ACF+∠CAF = 180°，$​∴​$∠BCE=∠CAF$​
​$ $​在​$\triangle BCE$​和​$\triangle CAF $​中
​$ \begin {cases}∠BEC=∠CFA \\∠BCE=∠CAF \\CB = AC\end {cases}$​
∴​$\triangle BCE≌\triangle CAF(\mathrm {AAS})$​
∴​$BE = CF，$​​$CE = AF$​
∵​$CF = CE + EF，$​∴​$EF = CF - CE=BE - AF$​
​$ (2) EF = BE + AF$​
证明：根据题意，得​$∠BEC=∠CFA=∠α=∠BCA$​
又∵​$∠EBC+∠BCE+∠BEC = 180°，$​​$∠BCE+∠FCA+∠BCA = 180°$​
∴​$∠EBC=∠FCA$​
​$ $​在​$\triangle BEC$​和​$\triangle CFA$​中
​$ \begin {cases}∠BEC=∠CFA \\∠EBC=∠FCA \\CB = AC\end {cases}$​
∴​$\triangle BEC≌\triangle CFA(\mathrm {AAS})$​
∴​$CE = AF，$​​$BE = CF，$​∴​$EF = CF + CE=BE + AF$​
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