第38页

信息发布者：
$40^{\circ}$或$100^{\circ}$
$10^{\circ}$或$100^{\circ}$
​$(1)$​证明：∵​$AD$​是​$\triangle ABC$​的角平分线，∴​$∠EAD = ∠F AD$​
由作图，得​$AE = AF$​
在​$\triangle ADE$​和​$\triangle ADF $​中
​$\begin {cases}AE = AF\\∠EAD = ∠F AD\\AD = AD\end {cases}$​
∴​$\triangle ADE≌\triangle ADF(S AS)$​
​$(2)$​解：∵​$AD$​为​$\triangle ABC$​的角平分线，​$∠BAC = 80°$​
∴​$∠EAD=\frac 12∠BAC = 40°$​
由作图，得​$AE = AD$​
∴​$∠AED = ∠ADE=\frac 12×(180°-40°) = 70°$​
∵​$AB = AC，$​​$AD$​为​$\triangle ABC$​的角平分线
∴​$AD\perp BC，$​∴​$∠ADB = 90°$​
∴​$∠BDE = 90°-∠ADE = 20°$​
D
$80^{\circ}$或$20^{\circ}$或$50^{\circ}$
方法一：如图①，延长​$AD$​到点​$E，$​使​$DE = AD，$​连接​$CE$​
∵​$AD$​为​$BC$​上的中线，∴​$BD = CD$​
在​$\triangle ABD$​和​$\triangle ECD$​中
​$\begin {cases}AD = ED\\∠ADB=∠EDC\\BD = CD\end {cases}$​
∴​$\triangle ABD≌\triangle ECD(S AS)$​
∴​$∠BAD = ∠E，$​​$AB = EC$​
又∵​$AD$​平分​$∠BAC，$​∴​$∠BAD = ∠CAD$​
∴​$∠CAD=∠E，$​∴​$AC = EC$​
∴​$AB = AC，$​∴​$\triangle ABC$​为等腰三角形

方法二：如图②，过点​$D$​作​$DE\perp AB$​于点​$E，$​​$DF\perp AC$​于点​$F$​
∵​$AD$​平分​$∠BAC，$​​$DE\perp AB，$​​$DF\perp AC$​
∴​$DE = DF，$​​$∠DEB=∠DF-C = 90°$​
∵​$AD$​为​$BC$​上的中线，∴​$BD = CD$​
在​$Rt\triangle DEB$​和​$Rt\triangle DF C$​中
​$\begin {cases}BD = CD\\DE = DF\end {cases}$​
∴​$Rt\triangle DEB≌ Rt\triangle DF C(\mathrm {HL})，$​∴​$∠B=∠C$​
∴​$AB = AC，$​∴​$\triangle ABC$​为等腰三角形
上一页 下一页