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$56^{\circ}$
​$ (1) $​证明：∵​$BE = F C，$​∴​$BE + EC = F C + EC，$​即​$BC = EF$​
​$ $​在​$\triangle ABC$​和​$\triangle DFE$​中
​$ \begin {cases}AB = DF\\AC = DE\\BC = FE\end {cases}$​
∴​$\triangle ABC≌\triangle DFE(\mathrm {SSS})$​
∴​$∠ACB = ∠DEF，$​即​$∠G CE = ∠GEC$​
∴​$GE = G C，$​即​$\triangle GEC$​为等腰三角形
​$ (2) $​解：​$AD$​与​$l$​的位置关系是​$AD// l$​
理由：∵​$\triangle GEC$​的内角和为​$180°，$​​$∠G CE = ∠GEC$​
∴​$∠GEC=\frac 12(180°-∠EG C)$​
∵​$AC = DE，$​​$GE = G C，$​∴​$AG = DG，$​∴​$∠G AD=∠G DA。$​
∵​$\triangle G AD$​的内角和为​$180°$​
∴​$∠G DA=\frac 12(180°-∠AG D)$​
∵​$∠EG C=∠AG D，$​∴​$∠GEC=∠G DA，$​∴​$AD// l$​
$100^{\circ}$
证明：​$(1)$​∵​$DE\perp AB，$​∴​$∠DEB = 90°$​
∵​$M$​为​$BD$​的中点，∴​$DM = MB$​
在​$Rt\triangle DEB$​中，​$EM=\frac 12DB$​
∵​$∠ACB = 90°$​
在​$Rt\triangle DCB$​中，​$CM=\frac 12DB，$​∴​$CM = EM$​
​$(3)$​连接​$AM$​
∵​$\triangle DAE≌\triangle CEM，$​​$CM = EM$​
∴​$AE = EM = CM = DE = DM，$​​$∠DEA=∠CME = 90°$​
∴​$\triangle ADE$​是等腰直角三角形，​$\triangle DEM$​是等边三角形
∴​$∠DEM=∠DME = 60°，$​∴​$∠FEM = 30°$​
∵​$AE = EM，$​∴​$∠EAM=∠EMA = 15°$​
∴​$∠AMC=∠CME-∠EMA = 75°$​
∵​$∠CME = 90°，$​​$∠DME = 60°，$​∴​$∠DMC = 30°$​
∵​$CM = DM，$​∴​$∠MCD=∠MDC=\frac 12×(180°-30°) = 75°$​
∴​$∠AMC=∠MCD，$​∴​$AC = AM$​
∵​$N$​为​$CM$​的中点，∴​$AN\perp CM，$​∴​$∠ANM = 90°$​
∴​$∠ANM+∠CME = 180°，$​∴​$AN//EM$​
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