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证明：∵​$ AD⊥AE，$​​$AB⊥AC，$​∴​$ ∠DAE = ∠BAC = 90°$​
∴​$ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，$​∴​$ ∠BAD = ∠CAE$​
在​$∆ABD$​和​$∆ACE$​中
​$\begin {cases}∠BAD = ∠CAE\\AB = AC\\∠ABD = ∠ACE\end {cases}$​
∴​$ ∆ABD≌∆ACE(AS A)，$​∴​$ BD = CE$​
解：如图，连接​$AD$​
在​$∆ABD$​和​$∆ACD$​中
​$\begin {cases}AB = AC\\BD = CD\\AD = AD\end {cases}$​
∴​$ ∆ABD≌∆ACD(\mathrm {SSS})，$​∴​$ ∠BAD = ∠CAD$​
∵​$ DE⊥AE，$​​$DF⊥AF，$​∴​$ ∠E = ∠F = 90°$​
在​$∆AED$​和​$∆AF D$​中
​$\begin {cases}∠E = ∠F\\∠EAD = ∠F AD\\AD = AD\end {cases}$​
∴​$ ∆AED≌∆AF D(\mathrm {AAS})，$​∴​$ DE = DF$​

B
60°
4
24°
解：∵​$ AB = AC，$​∴​$ $​点​$A$​在线段​$BC$​的垂直平分线上​$.$​
∵​$ OB = OC，$​∴​$ $​点​$O$​也在线段​$BC$​的垂直平分线上，
∴​$ AO$​所在的直线即为线段​$BC$​的垂直平分线
设直线​$AO$​与线段​$BC$​交于点​$M$​
 由题意，得​$AM = 8，$​​$OM = 3$​

如图①，当点​$A，$​​$O$​在​$BC$​的同侧时，​$AO = AM - OM = 8 - 3 = 5；$​
如图②，当点​$A，$​​$O$​在​$BC$​的异侧时，​$AO = AM + OM = 8 + 3 = 11$​
综上所述，​$AO$​的长为​$5$​或​$11$​
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