解：根据所给的坐标，可知$O$为坐标原点.
因为点$P_1$与点$P_2$关于点$A(1,0)$对称，且点$P_1$的坐标是$(1,1)，$设$P_2(x_2,y_2)，$根据中点坐标公式：若有两点$(x_1,y_1)，$$(x_2,y_2)，$则它们的中点坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})，$可得$\frac{1 + x_2}{2}=1，$$\frac{1 + y_2}{2}=0，$解得$x_2 = 1，$$y_2 = -1，$所以点$P_2$的坐标是$(1,-1).$
因为点$P_2$与点$P_3$关于点$B(0,1)$对称，设$P_3(x_3,y_3)，$则$\frac{1 + x_3}{2}=0，$$\frac{-1 + y_3}{2}=1，$解得$x_3 = -1，$$y_3 = 3，$所以点$P_3$的坐标是$(-1,3).$
因为点$P_3$与点$P_4$关于点$O(0,0)$对称，设$P_4(x_4,y_4)，$则$\frac{-1 + x_4}{2}=0，$$\frac{3 + y_4}{2}=0，$解得$x_4 = 1，$$y_4 = -3，$所以点$P_4$的坐标是$(1,-3).$
因为点$P_4$与点$P_5$关于点$A(1,0)$对称，设$P_5(x_5,y_5)，$则$\frac{1 + x_5}{2}=1，$$\frac{-3 + y_5}{2}=0，$解得$x_5 = 1，$$y_5 = 3，$所以点$P_5$的坐标是$(1,3).$
因为点$P_5$与点$P_6$关于点$B(0,1)$对称，设$P_6(x_6,y_6)，$则$\frac{1 + x_6}{2}=0，$$\frac{3 + y_6}{2}=1，$解得$x_6 = -1，$$y_6 = -1，$所以点$P_6$的坐标是$(-1,-1).$
因为点$P_6$与点$P_7$关于点$O(0,0)$对称，设$P_7(x_7,y_7)，$则$\frac{-1 + x_7}{2}=0，$$\frac{-1 + y_7}{2}=0，$解得$x_7 = 1，$$y_7 = 1，$所以点$P_7$的坐标是$(1,1).$
此时点$P_7$与点$P_1$重合.依次类推，反复循环，即点$P_8$与点$P_2$重合，点$P_9$与点$P_3$重合，点$P_{10}$与点$P_4$重合，点$P_{11}$与点$P_5$重合，点$P_{12}$与点$P_6$重合，点$P_{13}$与点$P_7$重合（即与点$P_1$重合），由此推断，点$P_n$的位置变换是以每$6$次对称为一个周期进行循环的.
因为$100 = 16\times6 + 4，$所以点$P_{100}$的坐标与点$P_4$的坐标一致，即点$P_{100}$的坐标为$(1,-3).$
