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$m\neq - 3$
$=3$
$1$
$y=\frac{1}{2}x$
解：​$(1)$​设购进短款服装​$x$​件，购进长款服装​$y$​件
由题意可得方程组​$\begin {cases}x + y = 50\\80x + 90y = 4300\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{x=20}\\{y = 30}\end {cases}$​
答：长款服装购进​$30$​件，短款服装购进​$20$​件。
​$(2)W=(100 - 80)m+(120 - 90)(200 - m)=-10\ \mathrm {m} + 6000$​
根据题意，得​$\begin {cases}m\geqslant 0\\200 - m\geqslant 0\\80\ \mathrm {m} + 90(200 - m)\leqslant 16800\end {cases}$​
解得​$120\leqslant m\leqslant 200，$​且​$m $​为整数
解：​$(1)$​当​$2000\leqslant x\leqslant 2600$​时，​$y = 10x-6×(2600 - x)=16x - 15600$​
当​$2600$​时，​$y = 2600×10 = 26000$​
所以​$y$​关于​$x$​的函数表达式为​$y=\begin {cases}{16x - 15600(2000\leqslant x\leqslant 2600)}\\{26000(2600＜x≤3000)}\end {cases}$​
​$(2)$​当​$2000\leqslant x\leqslant 2600$​时，​$16x - 15600\geqslant 22000$​
解得​$x\geqslant 2350，$​此时​$2350\leqslant x\leqslant 2600$​
当​$2600$​时，​$y = 26000>22000$​恒成立
综上所述，当​$2350\leqslant x\leqslant 3000$​时，该水果店销售这批水果所获得的利润不少于​$22000$​元
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