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D
$-6$
$(-3,1)$
解：​$(1)$​把​$x = 2$​代入​$y = -x + 5，$​得​$y = -2 + 5 = 3，$​∴点​$P $​的坐标为​$(2，$​​$3)$​
∵点​$A$​的坐标为​$(4，$​​$0)，$​∴​$OA = 4$​
∴​$S_{\triangle AOP}=\frac 12OA·|y_{P}|=\frac 12×4×3 = 6$​
​$(2)$​当​$S= 4$​时，​$\frac 12OA·|y_{P}| = 4$​
∵点​$P $​在第一象限内，​$A(4，$​​$0)，$​∴​$OA = 4，$​​$y_{P}＞0，$​则​$y_{P} = 2$​
在​$y = -x + 5$​中，令​$y = 2，$​得​$x = 3，$​∴点​$P $​的坐标为​$(3，$​​$2)$​
​$(3)$​设​$P(x，$​​$-x + 5)$​
根据题意，得​$S=\frac 12OA·|y_{P}|=\frac 12×4·y_{P} = 2(-x + 5)=-2x + 10$​
∵点​$P $​在第一象限，∴​$\begin {cases}x＞0\\-x + 5＞0\end {cases}，$​解得​$0＜x＜5$​
∴​$S $​关于​$x$​的函数表达式为​$s = -2x + 10(0＜x＜5)。$​函数图象如图所示
解：​$(1)$​如图​$①，$​过点​$C$​作​$CH\perp y$​轴，垂足为​$H，$​则​$∠AHC = 90°$​
∵点​$C$​的纵坐标为​$y，$​∴​$OH = y$​
∵点​$A$​的坐标是​$(0，$​​$1)，$​∴​$OA = 1$​
∵​$\triangle ABC$​是以​$AB$​为边的等腰直角三角形，∴​$AC = BA$​
∵​$∠BAC = 90°，$​∴​$∠HAC+∠OAB = 90°$​
∵​$∠BOA = 90°，$​∴​$∠OBA+∠OAB = 90°，$​∴​$∠HAC=∠OBA$​
在​$\triangle HAC$​和​$\triangle OBA$​中
​$\begin {cases}∠AHC=∠BOA\\∠HAC=∠OBA\\AC = BA\end {cases}$​
∴​$\triangle HAC≌\triangle OBA(\mathrm {AAS})，$​∴​$AH = BO$​
∵点​$B$​的横坐标为​$x，$​∴​$AH = BO = x$​
∴​$OH = OA + AH = 1 + x，$​∴​$y = x + 1$​
∵​$B$​是​$x$​轴正半轴上的一个动点，∴自变量​$x$​的取值范围是​$x＞0$​
​$(2)$​如图​$②$​所示
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