解：$(1)$设直线$AB$对应的函数表达式为$y = kx + b$
由题意，得$\begin {cases}-4k + b = 0\\b = 2\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k=\frac 12}\\{b=2}\end {cases}$
∴直线$AB$对应的函数表达式为$y=\frac 12x + 2$
$(2)\triangle OPQ $为直角三角形，可分三种情况讨论：
$①$若$∠POQ = 90°，$则点$Q $在$y$轴上，与它在第二象限内不符，舍去
$②$若$∠QPO = 90°，$则$P A = PQ＜OQ，$$PO＜OQ$
∵$OQ = OB = 2$
∴$P A＜2，$$PO＜2$
∴$OA = PO + P A＜4，$这与$OA = 4$矛盾，舍去
$③$若$∠PQO = 90°，$不妨设$AP = PQ = a，$则$PO = 4 - a$
在$Rt\triangle OPQ {中}，$$PO^2=PQ^2+OQ^2$
即$(4 - a)^2=a^2+2^2，$解得$a=\frac 32$
此时$PO = 4 - a=\frac 52，$∴点$P $的坐标为$(-\frac 52，$$0)$
过点$Q {作}QH\perp x$轴，垂足为$H$
∵$S_{\triangle OPQ}=\frac 12\ \mathrm {P}Q·OQ=\frac 12\ \mathrm {P}O·QH$
∴$QH=\frac {PQ·OQ}{PO}=\frac {\frac 32×2}{\frac 52}=\frac 65$
在$Rt\triangle QHO$中，由勾股定理，得$OH=\sqrt {OQ^2-QH^2}=\sqrt {2^2-(\frac 65)^2}=\frac 85$
∴点$Q $的坐标为$(-\frac 85，$$\frac 65)$
对于$y=\frac 12x + 2，$当$x = -\frac 85$时，$y=\frac 12×(-\frac 85)+2=\frac 65$
∴点$Q $在直线$AB$上
