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②④

 解：（1）如图，线段$BM，$$AN，$$CH$即为所求作的高

 （2）$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM=\frac{1}{2}BC\cdot AN=\frac{1}{2}AB\cdot CH，$

 $\therefore 3AC = 2BC = 4AB.$ 可设$4AB = 3AC = 2BC = k，$则$AB=\frac{1}{4}k，$$AC=\frac{1}{3}k，$$BC=\frac{1}{2}k.$ $\therefore AB:AC:BC=\frac{1}{4}:\frac{1}{3}:\frac{1}{2}=3:4:6$

 解：（1）$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle CAB = 90^{\circ}，$$AD$是边$BC$上的高，

 $\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AD.$ 

$\because AB = 6\mathrm{cm}，$$AC = 8\mathrm{cm}，$$BC = 10\mathrm{cm}，$$\therefore AD = 4.8\mathrm{cm}$

 （2）$\because AE$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC.$ 

$\therefore S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}BE\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{4}BC\cdot AD=\frac{1}{4}\times10\times4.8 = 12(\mathrm{cm}^2)$

 （3）$\because AE$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore BE = CE.$ 

将$\triangle ACE$和$\triangle ABE$的周长分别记为$C_{\triangle ACE}$和$C_{\triangle ABE}，$

则$C_{\triangle ACE}-C_{\triangle ABE}=AC + CE + AE-(AB + BE + AE)=AC - AB=8 - 6 = 2(\mathrm{cm})$