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解：​$(1) $​连接​$P C$​
∵点​$P $​在边​$BC$​的垂直平分线上
∴​$P B = P C，$​∴​$\triangle P BC$​是等腰三角形
∴​$∠P BC = ∠P CB$​
同理，得​$∠P AC = ∠P CA$​
∴​$∠P BC + ∠P AC = ∠P CB + ∠P CA=∠ACB$​
又​$∠ACB = 110°$​
∴​$∠AP B = 360°-(∠P BC + ∠P AC+∠ACB)$​
​$=360°-2∠ACB = 140°$​
​$(2) $​线段​$AB，$​​$AH，$​​$AC$​之间的数量关系
是​$AB = AC + 2\ \mathrm {A}H$​
理由如下：过点​$P $​作​$PD\perp AM$​于点​$D，$​连接​$P C$​
∵点​$P $​在​$∠BAM$​的平分线上
∴​$∠P AH = ∠P AD$​
又​$PH\perp AB，$​​$P D\perp AM$​
∴​$∠AHP = ∠ADP = 90°$​
在​$\triangle P AH$​和​$\triangle P AD$​中
​$\begin {cases}∠AHP = ∠ADP\\∠P AH = ∠P AD\\P A = P A\end {cases}$​
∴​$\triangle P AH≌\triangle P AD(\mathrm {AAS})$​
∴​$AH = AD，$​​$PH = P D$​
∵点​$P $​在边​$BC$​的垂直平分线上
∴​$P B = P C$​
在​$Rt\triangle P BH$​和​$Rt\triangle P CD$​中
​$\begin {cases}PH = P D\\P B = P C\end {cases}$​
∴​$Rt\triangle P BH≌ Rt\triangle P CD(\mathrm {HL})$​
∴​$BH = CD$​
∴​$AB - AH = AC + AD，$​即​$AB = AC + 2\ \mathrm {A}H$​
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