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​$(1)$​解：∵​$EF\perp AB，$​​$∠AEF = 50°$​
∴​$∠F AE=90°-∠AEF = 40°$​
∵​$∠BAD = 100°$​
∴​$∠CAD=180°-∠BAD-∠F AE = 40°$​
​$(2) $​证明：过点​$E$​作​$EG\perp AD$​于点​$G，$​​$EH\perp BC$​于点​$H$​
由​$(1)$​得​$∠F AE=∠CAD = 40°，$​∴​$AE$​平分​$∠DAF$​
又​$EF\perp AF，$​∴​$EF = EG$​
∵​$BE$​平分​$∠ABC，$​∴​$EF = EH$​
∴​$EG = EH，$​即​$DE$​平分​$∠ADC$​
​$(3)$​解：∵​$S_{\triangle ACD}=15$​
∴​$S_{\triangle ADE}+S_{\triangle CDE}=15$​
即​$\frac 12\ \mathrm {A}D·EG+\frac 12CD·EH = 15$​
由​$(2)，$​得​$EF = EG = EH，$​且​$CD = 8，$​​$AD = 4$​
∴​$\frac 12×4EG+\frac 12×8EG = 15，$​解得​$EG=\frac 52$​
∴​$EF = EG=\frac 52$​
又​$AB = 7$​
∴​$\triangle ABE$​的面积为​$\frac 12\ \mathrm {A}B·EF=\frac {35}4$​
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