$(1) $证明：过点$C$作$CK\perp AN，$垂足为$K$
则$∠CKD = 90°$
∵$AC$平分$∠MAN，$$CE\perp AM$
∴$CK = CE，$$∠CEB = 90°$
∴$∠CEB=∠CKD$
∵$∠ABC+∠ADC = 180°，$$∠CDK+∠ADC = 180°$
∴$∠ABC=∠CDK，$即$∠CBE=∠CDK$
在$\triangle BCE$和$\triangle DCK$中
$\begin {cases}∠CBE=∠CDK\\∠CEB=∠CKD\\CE = CK\end {cases}$
∴$\triangle BCE≌\triangle DCK(\mathrm {AAS})$
∴$BC = DC$
解：$(2) $过点$C$作$CP\perp AD，$垂足为$P$
由$(1)$得$CP = CE，$$∠CP D=∠CEB = 90°$
在$Rt\triangle ACP $和$Rt\triangle ACE$中
$\begin {cases}CP = CE\\AC = AC\end {cases}$
∴$Rt\triangle ACP≌ Rt\triangle ACE(\mathrm {HL})$
∴$AP = AE$
∵$∠ABC+∠ADC = 180°，$$∠ABC+∠CBE = 180°$
∴$∠ADC=∠CBE，$即$∠CDP=∠CBE$
由$(1)$得$\triangle BCE≌\triangle DCP(\mathrm {AAS})$
∴$BE = DP$
∴$AD = AP+DP = AE + BE=AB + 2BE。$
$AB、$$AD$与$BE$之间的数量关系为$AD = AB + 2BE$
$(3) $在$BD$上截取$BH = BG，$连接$OH$
∵$BF $平分$∠ABD，$∴$∠OBG=∠OBH$
在$\triangle OBH$和$\triangle OBG $中
$\begin {cases}BH = BG\\∠OBH=∠OBG\\OB = OB\end {cases}$
∴$\triangle OBH≌\triangle OBG(S AS)$
∴$∠OHB=∠OG B，$$∠BOH=∠BOG$
又$AO，$$BO$分别平分$∠MAN，$$∠ABD$
∴点$O$到$AD，$$AB，$$BD$的距离相等
∴$OD$平分$∠ADB，$即$∠ODH=∠ODF$
∵$∠OHB=∠ODH+∠DOH，$
$∠OG B=∠ODF+∠DAB$
∴$∠DOH=∠DAB$
又$∠MAN = 60°$
∴$∠DAB = 60°，$即$∠DOH = 60°$
又$∠GOH+∠DOH = 180°$
∴$∠GOH=180°-∠DOH = 120°$
又$∠BOG+∠BOH=∠GOH$
∴$∠BOG=∠BOH = 60°$
∴$∠DOF=∠BOG = 60°，$即$∠DOH=∠DOF$
在$\triangle ODH$和$\triangle ODF $中
$\begin {cases}∠ODH=∠ODF\\OD = OD\\∠DOH=∠DOF\end {cases}$
∴$\triangle ODH≌\triangle ODF(AS A)$
∴$DH = DF$
∴$DB = DH+BH=DF + BG$
又$BG = 1，$$DF = 2，$∴$DB = 3$
