第24页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

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$(1)$证明：∵$AC = BC，$∴$∠A=∠ABC$

由旋转的性质，得$∠A_{1}=∠A，$$A_{1}C = AC，$

$∠ACA_{1}=∠B_{1}CB=α$

∴$∠A_{1}=∠ABC，$$A_{1}C = BC$

在$\triangle CBD$和$\triangle CA_{1}F $中

$\begin {cases}∠CBD=∠A_{1}\\BC = A_{1}C\\∠BCD=∠A_{1}CF\end {cases}$

∴$\triangle CBD≌\triangle CA_{1}F(\mathrm {ASA})$

解：$(2)$由题意得$\triangle ABC$是等腰直角三角形

∴$∠BAC=∠ABC = 45°$

由旋转的性质，得$BC = B_{1}C，$$∠BCB_{1}=α$

则$∠CB_{1}B=∠CBB_{1}$

又$∠BCB_{1}+∠CB_{1}B+∠CBB_{1}=180°$

∴$∠CB_{1}B=∠CBB_{1}=\frac 12(180°-∠BCB_{1}) $

$= 90°-\frac {α}2$

∴$∠B_{1}BD=∠CBB_{1}-∠ABC = 45°-\frac {α}2$

$(3)$由$(2)$得$∠CB_{1}B = 90°-\frac {α}2，$$∠B_{1}BD = 45°-\frac {α}2，$

$∠BCB_{1}=α，$$∠ABC = 45°$

∴$∠CB_{1}B＞∠B_{1}BD，$即$BD\neq B_{1}D$

又$∠BDB_{1}=∠BCB_{1}+∠ABC$

∴$∠BDB_{1}=45°+α$

又$0°＜α＜90°，$∴$∠BDB_{1}＞∠B_{1}BD，$即$BB_{1}\neq B_{1}D$

又$\triangle BB_{1}D$是等腰三角形，∴$BD = BB_{1}$

∴$∠BDB_{1}=∠BB_{1}D，$即$45°+α= 90°-\frac {α}2$

解得$α= 30°$

则当$α= 30°$时，$\triangle BB_{1}D$是等腰三角形

解：$(1)AB//CD，$理由如下：

由题意得$OA = OB，$$OC = OD，$$∠AOB=∠COD$

∴$∠OAB=∠OBA，$$∠OCD=∠ODC$

又$∠OAB+∠OBA+∠AOB = 180°，$

$∠OCD+∠ODC+∠COD = 180°$

∴$∠OCD=∠ODC=\frac 12(180°-∠COD)，$

$∠OAB=∠OBA=\frac 12(180°-∠AOB)$

即$∠OCD=∠OAB$

∵$A，$$O，$$C$三点共线，∴$AB//CD$

$(2)AC = BD，$$AC\perp BD，$理由如下：

设$BD$交$AC$于点$M，$交$OC$于点$J$

由题意，得$OA = OB，$$OC = OD$

∵$∠AOB=∠COD = 90°$

∴$∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，$

即$∠AOC=∠BOD$

在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中

$\begin {cases}OA = OB\\∠AOC=∠BOD\\OC = OD\end {cases}$

∴$\triangle AOC≌\triangle BOD(S AS)$

∴$AC = BD，$$∠OCA=∠ODB$

∵$∠DJO=∠CJM，$$∠CMJ+∠OCA+∠CJM = 180°$

$∠COD+∠ODB+∠DJO = 180°$

∴$∠CMJ=∠COD = 90°，$即$AC\perp BD$

$(3)$证明：由题意，得$OA = OB，$$OC = OD$

∵$E$为$AD$的中点，∴$AE = DE$

在$\triangle AEG $和$\triangle DEO$中

$\begin {cases}AE = DE\\∠AEG=∠DEO\\EG = EO\end {cases}$

∴$\triangle AEG≌\triangle DEO(S AS)$

∴$AG = DO，$$∠G=∠DOE，$即$AG//OD$

∴$∠OAG+∠AOD = 180°$

∵$∠COD=∠AOB = 90°，$

$∠COD+∠AOB+∠AOD+∠BOC = 360°$

∴$∠AOD+∠BOC = 360°-∠AOB-∠COD = 180°，$

即$∠OAG=∠BOC$

∵$OD = OC，$∴$AG = OC$

在$\triangle G AO$和$\triangle COB$中

$\begin {cases}AG = OC\\∠OAG=∠BOC\\AO = OB\end {cases}$

∴$\triangle G AO≌\triangle COB(S AS)$

∴$∠AOG=∠OBC$

∵$∠AOG+∠BOF = 180°-∠AOB = 90°$

∴$∠OBC+∠BOF = 90°$

又$∠OF C=∠OBC+∠BOF$

∴$∠OF C = 90°，$即$EF\perp BC$