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30°
6或12
解：​$(1)$​∵​$\triangle ABC$​为等边三角形
∴​$AB = BC，$​​$∠ABM = ∠BCN = 60°$​
在​$\triangle ABM$​和​$\triangle BCN$​中
​$\begin {cases}AB = BC\\∠ABM=∠BCN\\BM = CN\end {cases}$​
∴​$\triangle ABM≌\triangle BCN(S AS)$​
∴​$∠BAM = ∠CBN$​
∵​$∠BQM=∠BAM+∠ABQ$​
∴​$∠BQM=∠CBN+∠ABQ=∠ABM = 60°$​
​$ (2)$​成立，理由如下：
∵​$\triangle ABC$​为等边三角形
∴​$BA = BC，$​​$∠ABC = ∠ACB = 60°，$​
即​$∠ABM = ∠BCN$​
在​$\triangle ABM$​和​$\triangle BCN$​中
​$\begin {cases}AB = BC\\∠ABM=∠BCN\\BM = CN\end {cases}$​
∴​$\triangle ABM≌\triangle BCN(S AS)$​
∴​$∠M = ∠N$​
∵​$∠BQM=∠N+∠Q AN，$​​$∠Q AN = ∠CAM，$​
​$∠ACB=∠M+∠CAM$​
∴​$∠BQM=∠ACB = 60°$​
$BM + NC = MN$
$\frac{2}{3}$

解：​$(2)(1)$​中的两个结论成立，
即​$BM + NC = MN，$​​$\frac {Q}{L}=\frac 23$​
​$(3)NC - BM = MN，$​证明如下：
在​$CN$​上截取​$CM_{2}=BM，$​连接​$DM_{2}$​
由​$(1)$​得​$∠ABD=∠ACD = 90°$​
又​$∠ABD+∠MBD = 180°$​
∴​$∠MBD = 180°-∠ABD = 90°，$​
即​$∠MBD=∠M_{2}CD$​
在​$\triangle MBD$​和​$\triangle M_{2}CD$​中
​$\begin {cases}BM = CM_{2}\\∠MBD=∠M_{2}CD\\BD = CD\end {cases}$​
∴​$\triangle MBD≌\triangle M_{2}CD(S AS)$​
∴​$∠MDB=∠M_{2}DC，$​​$MD = M_{2}D$​
又​$∠MDN = 60°，$​​$∠BDC = 120°$​
∴​$∠BDC-∠MDN = 60°$​
即​$∠NDC-∠MDB = 60°$​
∴​$∠NDC-∠M_{2}DC = 60°，$​
即​$∠M_{2}DN = 60°$​
∴​$∠MDN=∠M_{2}DN$​
在​$\triangle MDN$​和​$\triangle M_{2}DN$​中
​$\begin {cases}MD = M_{2}D\\∠MDN=∠M_{2}DN\\DN = DN\end {cases}$​
∴​$\triangle MDN≌\triangle M_{2}DN(S AS)$​
∴​$MN = M_{2}\ \mathrm {N}$​
又​$M_{2}\ \mathrm {N} = NC - CM_{2}$​
∴​$M_{2}\ \mathrm {N} = NC - BM，$​即​$MN = NC - BM$​
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