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证明：​$(1)$​∵​$\triangle ACB$​和​$\triangle ECD$​都是等腰
直角三角形，​$∠ACB=∠ECD = 90°$​
∴​$AC = BC，$​​$CE = CD，$​
​$∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，$​
即​$∠ACE=∠BCD$​
∴​$\triangle ACE≌\triangle BCD(S AS)$​
​$ (2)$​∵​$\triangle ACB$​是等腰直角三角形
∴​$∠B=∠BAC = 45°$​
​$ $​由​$(1)，$​得​$\triangle ACE≌\triangle BCD$​
∴​$AE = BD，$​​$∠CAE=∠B = 45°$​
∴​$∠DAE=∠CAE+∠BAC = 90°，$​
即​$\triangle ADE$​是直角三角形
由勾股定理，得​$AD^2+AE^2=DE^2$​
∴​$AD^2+BD^2=DE^2$​
​$ $​在等腰直角三角形​$ECD$​中，​$CE = CD$​
由勾股定理，得​$DE^2=CD^2+CE^2=2CD^2$​
∴​$2CD^2=AD^2+BD^2$​
C
解：​$(1)$​如图​$①，$​过点​$A$​作​$AE//l，$​交​$BD$​于点​$E，$​
连接​$AB$​
∵​$AC\perp l，$​​$BD\perp l$​
∴​$AE\perp BD，$​四边形​$ACDE$​是长方形
∵​$AC = 2\ \mathrm {km}，$​​$BD = 4\ \mathrm {km}，$​​$CD = 8\ \mathrm {km}$​
∴​$DE = AC = 2\ \mathrm {km}，$​​$AE = CD = 8\ \mathrm {km}$​
∴​$BE = BD - DE = 2\ \mathrm {km}$​
在​$Rt\triangle ABE$​中，由勾股定理，
得​$AB=\sqrt {AE^2+BE^2}=\sqrt {68}\mathrm {km}$​
∴​$A，$​​$B$​两村之间的距离是​$\sqrt {68}\mathrm {km}$​
​$(2)$​如图​$②，$​作点​$A$​关于直线​$l$​的对称点​$A'，$​
连接​$A'B$​交直线​$l$​于点​$M，$​则​$M$​即为所求的点，
且距离之和的最小值即为线段​$A'B$​的长
过点​$A'$​作​$A'F\perp BD，$​交​$BD$​的延长线于点​$F$​
∴​$BF = BD + DF = BD + A'C $​
​$= BD + AC = 4 + 2=6(\mathrm {km})，$​​$A'F = CD = 8\ \mathrm {km}$​
在​$Rt\triangle A'BF $​中，由勾股定理，
得​$A'B=\sqrt {A'F^2+BF^2} = 10\ \mathrm {km}$​
∴距离之和的最小值为​$10\ \mathrm {km}$​
​$(3)$​如图​$③，$​连接​$AB，$​作​$AB$​的垂直平分线​$GH，$​
交直线​$l$​于点​$P，$​连接​$P A，$​​$P B，$​则​$P A = PB$​
∴点​$P $​即为所作
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