$(1)$证明：设$BD = x，$$CD = 3x，$$AD = 4x(x>0)$
∵$CD\perp AB，$∴$∠ADC = 90°$
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理，
得$AC = \sqrt {AD^2+CD^2}=\sqrt {(4x)^2+(3x)^2} = 5x$
又$AB = BD + AD = 5x$
∴$AC = AB$
∴$\triangle ABC$是等腰三角形
$(2)$解：$\triangle MDE$能成为等腰三角形
由$(1)$得$BD = x，$$CD = 3x，$$AD = 4x，$
$∠ADC = 90°，$$AC = AB = 5x$
∵$S_{\triangle ABC}=30$
∴$\frac 12\ \mathrm {A}B·CD=\frac 12×5x·3x = 30$
即$\frac {15}2x^2=30，$解得$x = 2$
∴$BD = 2，$$CD = 6，$$AD = 8，$
$AC = AB = 10$
又$E$为边$AC$的中点，$CD\perp AB$
∴$DE = CE = AE=\frac 12\ \mathrm {A}C = 5$
当点$M$在$BD$上，即$0\leq t<2$时，$∠EDM>90°，$
$\triangle MDE$为钝角三角形，且$DM\neq DE$
∴$\triangle MDE$不能成为等腰三角形，舍去；
当$M，$$D$两点重合，
即$t = 2$时，$\triangle MDE$不存在，舍去；
当点$M$在$DA$上，即$2$时，
$DM = BM - BD = t - 2$
分类讨论如下：
$①$当$DE = DM$时，$5 = t - 2，$解得$t = 7；$
$②$当$DE = EM$时，易得$M，$$A$两点重合
此时$t = 10；$
$③$当$DM = EM$时，$EM = t - 2$
过点$E$作$EF\perp AD$于点$F$
则$AF = DF=\frac 12\ \mathrm {A}D = 4$
∴$MF = DF - DM = 6 - t$
在$Rt\triangle DEF $中，由勾股定理，
得$EF = \sqrt {DE^2-DF^2}=\sqrt {5^2-4^2} = 3$
在$Rt\triangle EMF $中，由勾股定理，
得$EF^2+MF^2=EM^2$
∴$3^2+(6 - t)^2=(t - 2)^2，$解得$t=\frac {41}8$
综上，当$t $的值为$7$或$\frac {41}8$或$10$时，
$\triangle MDE$为等腰三角形
