解：$(1)$设$BF $的长为$x\mathrm {cm}$
由题意得$BC = 4\ \mathrm {cm}，$$AB\perp BC，$
当点$P $在边$CD$上时，$\triangle P BF $的面积为$6\ \mathrm {cm}^2$
则$\frac 12×4x = 6，$解得$x = 3，$则$BF = 3\ \mathrm {cm}$
当$t = 1$时，$S= \frac 32，$$BP = a\mathrm {cm}$
则$\frac 12BF·BP = \frac 32$
即$\frac 12×3a = \frac 32，$解得$a = 1$
则线段$BF $的长为$3\ \mathrm {cm}，$$a$的值为$1$
$(2)$∵正方形$ABCD$的边长为$4\ \mathrm {cm}$
∴$AB = BC = CD = AD = 4\ \mathrm {cm}，$
$∠A=∠B=∠C = 90°$
∴$∠B+∠C = 180°，$即$AB//CD$
又$E$是$AD$的中点，∴$DE=\frac 12\ \mathrm {A}D = 2\ \mathrm {cm}$
由$(1)$得$BF = 3\ \mathrm {cm}，$$a = 1$
∴当$0＜t\leq 4$时，点$P $在边$BC$上运动，
$S_{\triangle P BF}=\frac 12BF·BP$
则$S=\frac 12×3×t=\frac 32\ \mathrm {t}$
当$4＜t\leq 8$时，点$P $在边$CD$上运动，
$S_{\triangle P BF}=\frac 12BF·BC$
则$S=\frac 12×3×4 = 6$
当$8＜t\leq 10$时，点$P $在线段$DE$上运动
$AP = 12 - t，$$S_{\triangle P BF}=\frac 12BF·AP$
则$S=\frac 12×3×(12 - t)=18-\frac 32\ \mathrm {t}$
综上，$S $关于$t $的函数表达式为
$S=\begin {cases}\frac 32\ \mathrm {t}(0＜t\leq 4)\\6(4＜t\leq 8)\\18-\frac 32\ \mathrm {t}(8＜t\leq 10)\end {cases}$
$(3)$若$S= 4，$则分类讨论如下：
当$0＜t\leq 4$时，$\frac 32\ \mathrm {t} = 4，$解得$t = \frac 83$
当$4＜t\leq 8$时，$6\neq 4，$则此种情况不存在
当$8＜t\leq 10$时，$18-\frac 32\ \mathrm {t} = 4，$解得$t=\frac {28}3$
∴当$t = \frac 83$或$\frac {28}3$时，$\triangle P BF $的面积为$4\ \mathrm {cm}^2$
