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解：​$(1)$​由题意，设​$y_{1} = k_{1}x，$​​$y_{2} = k_{2}(x + 2)$​
又​$y = y_{2} - y_{1}，$​∴​$y = k_{2}(x + 2)-k_{1}x$​
又当​$x = -1$​时，​$y = 2；$​当​$x = 2$​时，​$y = 10$​
∴​$\begin {cases}k_{2} + k_{1} = 2 \\4k_{2} - 2k_{1} = 10 \end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{k_{1} = -\frac 13}\\{k_{2}=\frac 73}\end {cases}$​
∴​$y$​与​$x$​之间的函数表达式为
​$y = \frac 73(x + 2)+\frac 13x=\frac 83x+\frac {14}3$​
​$(2)$​由​$(1)$​得​$y$​与​$x$​之间的函数表达式为
​$y = \frac 83x+\frac {14}3$​
当​$y = 30$​时，​$\frac 83x+\frac {14}3=30，$​解得​$x=\frac {19}2$​
则当​$x$​的值为​$\frac {19}2$​时，​$y$​的值为​$30$​
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解：​$(2)$​由表得当​$x = -4$​时，​$y = -2；$​
当​$x = 0$​时，​$y = 6$​
∴​$\begin {cases}-4k + b = -2 \\b = 6 \end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{k = 2}\\{b=6}\end {cases}$​
∴​$k$​的值为​$2，$​​$b$​的值为​$6$​
​$(3)$​由​$(2)，$​得​$k = 2，$​​$b = 6$​
∴​$y=\begin {cases}2x + 6(x＜1) \\8x(x\geq 1) \end {cases}$​
当​$x<1$​时，令​$y = 0，$​得​$2x + 6 = 0，$​解得​$x = -3$​
当​$x\geq 1$​时，令​$y = 0，$​得​$8x = 0，$​
解得​$x = 0，$​舍去
综上，输入的​$x$​的值为​$-3$​
解：​$(1)$​设​$y$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y = kx + b$​
由题意，得​$\begin {cases}10k + b = 60 \\20k + b = 55 \end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{k = -\frac 12}\\{b = 65}\end {cases}$​
∴​$y$​与​$x$​之间的函数表达式为
​$y = -\frac 12x + 65(10\leq x\leq 70)$​
​$(2)$​当乙​$ = 25$​时，​$25=-a + 90，$​解得​$a = 65$​
又​$y = 40$​
∴总利润为​$(65 - 40)×25 = 625($​万元​$)$​
即该厂第一个月销售这种机器的利润为​$625$​万元
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