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$m＜\frac{1}{3}$
$＞$
1
解：​$(1)$​由题意得​$OH = 3$​
∵​$S_{\triangle AOH}=3，$​​$S_{\triangle AOH}=\frac 12OH·AH$​
∴​$AH = \frac {2S_{\triangle AOH}}{OH}=2$​
又点​$A$​在第四象限，∴点​$A$​的坐标为​$(3，$​​$-2)$​
将点​$A(3，$​​$-2)$​的坐标代入​$y = kx$​中，
得​$3k = -2，$​解得​$k = -\frac 23$​
∴该正比例函数的表达式为​$y = -\frac 23x$​
​$(2)$​存在。由​$(1)，$​得​$AH = 2$​
设点​$P $​的坐标为​$(a，$​​$0)，$​则​$OP = |a|$​
又​$S_{\triangle AOP}=5，$​​$S_{\triangle AOP}=\frac 12\ \mathrm {A}H·OP$​
∴​$\frac 12×2·|a| = 5，$​解得​$a = \pm 5$​
∴点​$P $​的坐标为​$(5，$​​$0)$​或​$(-5，$​​$0)$​
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解：∵点​$A$​的坐标为​$(2，$​​$0)，$​∴​$OA = 2$​
又点​$P $​在直线​$y = x$​上，且​$\triangle OP A$​是等腰三角形
∴​$OP = OA$​或​$P A = OA$​或​$OP = P A$​
​$①$​当​$OP = OA = 2$​时，过点​$P $​作​$P B\perp x$​轴
设点​$P $​的坐标为​$(a，$​​$a)，$​则​$OB = |a|，$​​$P B = |a|$​
在​$Rt\triangle OP B$​中，由勾股定理，
得​$OB^2+P B^2=OP^2，$​∴​$2|a|^2=4，$​解得​$a = \pm \sqrt 2$​
∴点​$P $​的坐标为​$(\sqrt 2，$​​$\sqrt 2)$​或​$(-\sqrt 2，$​​$-\sqrt 2)$​
​$②$​当​$P A = OA$​时，易得点​$P $​的坐标为​$(2，$​​$2)$​
​$③$​当​$OP = P A$​时，过点​$P $​作​$P D\perp x$​轴
则​$OD=\frac 12OA = 1$​
对于​$y = x，$​令​$x = 1，$​得​$y = 1$​
∴点​$P $​的坐标为​$(1，$​​$1)$​
综上，点​$P $​的坐标为​$(\sqrt 2，$​​$\sqrt 2)$​或​$(-\sqrt 2，$​​$-\sqrt 2)$​
或​$(2，$​​$2)$​或​$(1，$​​$1)$​
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