解:$(1)$∵$y$随$x$的增大而增大
∴$m>0,$$n$为任意实数
$ (2)$∵函数图象与$y$轴的交点在$x$轴的下方
∴$-3n<0,$解得$n>0$
又该函数为一次函数,∴$m\neq 0$
$ (3)$∵一次函数的图象经过原点$(0,$$0)$
∴$n = 0,$且$m\neq 0$
$ (4)$∵$m = - 1,$$n = 2$
∴函数表达式为$y=-x - 6$
令$y = 0,$得$-x - 6 = 0,$解得$x=-6;$
令$x = 0,$得$y=-6$
∴此函数图象与$x$轴的交点坐标为$(-6,$$0),$
与$y$轴的交点坐标为$(0,$$-6)$
$ (5)$∵函数图象经过第一、二、三象限,
∴$m>0$且$-3n>0,$解得$m>0$且$n<0$