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$y=-2x - 2$
$(-\frac{3}{2},0)$
$y=\frac{1}{2}x - 1$
解：​$(1)$​由题意，把​$(5，$​​$m)$​代入​$y=-x + 3$​中，
得​$m=-5 + 3=-2$​
∴点​$A$​的坐标为​$(5，$​​$-2)$​
∵点​$A$​先向左平移​$2$​个单位长度，再向上
平移​$4$​个单位长度，得到点​$C$​
∴点​$C$​的坐标为​$(3，$​​$2)$​
∵直线​$CD$​与直线​$y = 2x$​平行
∴设直线​$CD$​对应的函数表达式为​$y = 2x + b$​
又点​$C$​在直线​$CD$​上
∴把​$C(3，$​​$2)$​代入​$y = 2x + b$​中，
得​$6 + b = 2，$​解得​$b=-4$​
∴直线​$CD$​对应的函数表达式为​$y = 2x - 4$​
​$(2)$​对于​$y=-x + 3，$​令​$x = 0，$​得​$y = 3$​
∴点​$B$​的坐标为​$(0，$​​$3)$​
由​$(1)$​得直线​$CD$​对应的函数表达式
为​$y = 2x - 4$​
令​$y = 0，$​得​$2x - 4 = 0，$​解得​$x = 2$​
∴直线​$y = 2x - 4$​与​$x$​轴的交点坐标为​$(2，$​​$0)$​
设当直线​$CD$​平移到经过点​$B$​时的直线对应
的函数表达式为​$y = 2x - 4 + n$​
则​$3 = 2×0 - 4 + n，$​解得​$n = 7$​
∴平移结束时得到的直线对应的函数
表达式为​$y = 2x + 3$​
令​$y = 0，$​得​$2x + 3 = 0，$​解得​$x=-\frac 32$​
∴直线​$y = 2x + 3$​与​$x$​轴的交点坐标为​$(-\frac 32，$​​$0)$​
∴直线​$CD$​在平移过程中与​$x$​轴交点的横坐标
的取值范围为​$-\frac 32\leq x\leq 2$​
$y=\frac{1}{3}x - 1$
$2$
$(0,3)$
解：​$(2)$​当​$t = 3$​时，​$AP = 1×3 = 3$​
又点​$A$​的坐标是​$(0，$​​$1)，$​∴​$OA = 1$​
∴​$OP = OA + AP = 4$​
∴点​$P $​的坐标是​$(0，$​​$4)$​
又点​$P $​在直线​$l∶y=-x + b$​上
∴把​$P(0，$​​$4)$​代入​$y=-x + b$​中，得​$b = 4$​
∴直线​$l$​对应的函数表达式是​$y=-x + 4$​
​$ (3)$​由​$(2)，$​得​$OA = 1$​
当直线​$l$​经过点​$M(3，$​​$2)$​时
把​$M(3，$​​$2)$​代入​$y=-x + b$​中，
得​$2=-3 + b，$​解得​$b = 5$​
∴直线​$l$​对应的函数表达式是​$y=-x + 5$​
令​$x = 0，$​得​$y = 5$​
∴此时点​$P $​的坐标是​$(0，$​​$5)，$​即​$OP = 5$​
∴​$AP = OP - OA = 4$​
∴​$t=\frac 41=4($​秒​$)$​
当直线​$l$​经过点​$N(4，$​​$4)$​时，把​$N(4，$​​$4)$​
代入​$y=-x + b$​中，得​$4=-4 + b，$​解得​$b = 8$​
∴直线​$l$​对应的函数表达式是​$y=-x + 8$​
令​$x = 0，$​得​$y = 8$​
∴此时点​$P $​的坐标是​$(0，$​​$8)，$​即​$OP = 8$​
∴​$AP = OP - OA = 7$​
∴​$t=\frac 71=7($​秒​$)$​
又​$7 - 4 = 3($​秒​$)$​
∴点​$P $​向上移动的时间为​$3$​秒
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