解：$(1)$设乙距山脚的垂直高度$y$与$x$之间的函数
表达式为$y = kx + b(15\leqslant x\leqslant 40)$
由题意，把$(15，$$0)，$$(40，$$300)$分别代入，
得$\begin {cases}15k + b = 0\\40k + b = 300\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k = 12}\\{b = - 180}\end {cases}$
∴乙距山脚的垂直高度$y$与$x$之间的函数表达式
为$y = 12x - 180(15\leqslant x\leqslant 40)$
$(2)$设甲距山脚的垂直高度$y$与$x$之间的函数表达式
为$y=k_{1}x + b_{1}(25\leqslant x\leqslant 60)$
由题意，把$(25，$$160)，$$(60，$$300)$分别代入，
得$\begin {cases}25k_{1} + b_{1} = 160\\60k_{1} + b_{1} = 300\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k_{1} = 4}\\{b_{1} = 60}\end {cases}$
∴甲距山脚的垂直高度$y$与$x$之间的函数表达式
为$y = 4x + 60(25\leqslant x\leqslant 60)$
由$(1)$得当$15\leqslant x\leqslant 40$时，乙距山脚的
垂直高度$y$与$x$之间的函数表达式为$y = 12x - 180$
且由图得在缆车上升的过程中，甲、乙处于
同一高度时，$25\leqslant x\leqslant 40，$
此时，两函数的纵坐标相等，
即$12x - 180 = 4x + 60，$解得$x = 30$
则$y = 4x + 60=4×30 + 60 = 180$
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时
距山脚的垂直高度为$180\ \mathrm {m}$
