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B
$(2,5)$
1
$\sqrt{32}$
$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$
解：​$(1)$​把​$(1，$​​$a)$​代入​$y = 2x$​中，
得​$a = 2×1 = 2，$​则点​$C$​的坐标为​$(1，$​​$2)$​
又点​$C$​在一次函数​$y = -\frac 12x + b$​的图象上，
∴把​$x = 1，$​​$y = 2$​代入​$y = -\frac 12x + b，$​
得​$2 = -\frac 12×1 + b，$​解得​$b =\frac 52$​
∴​$a$​的值为​$2，$​​$b$​的值为​$\frac 52$​
​$(3)$​存在，由​$(1)，$​得​$b = \frac 52$​
∴直线​$AB$​的函数表达式为​$y = -\frac 12x + \frac 52$​
令​$x = 0，$​得​$y = \frac 52；$​
令​$y = 0，$​得​$-\frac 12x + \frac 52=0，$​解得​$x = 5$​
∴点​$A$​的坐标为​$(0，$​​$\frac 52)，$​点​$B$​的坐标为​$(5，$​​$0)$​
∴​$OA = \frac 52，$​​$OB = 5$​
由题意，设点​$P $​的坐标为​$(t，$​​$2\ \mathrm {t})$​
则​$S_{\triangle AOP}=\frac 12×\frac 52|t|=\frac {5|t|}4，$​
​$S_{\triangle BOP}=\frac 12×5|2\ \mathrm {t}| = 5|t|$​
又​$\triangle BOP $​的面积比​$\triangle AOP $​的面积大​$5$​
∴​$5|t|=\frac {5|t|}4+5，$​解得​$t = \pm \frac 43$​
∴点​$P $​的坐标为​$(\frac 43，$​​$\frac 83)$​或​$(-\frac 43，$​​$-\frac 83)$​
解：​$(1)$​联立​$\begin {cases}y = -x + 4\\y = x - 2\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{x = 3}\\{y = 1}\end {cases}$​
∴点​$B$​的坐标为​$(3，$​​$1)$​
​$(2)①$​当​$x = 2$​时，​$y_{1} = -2 + 4 = 2，$​​$y_{2} = 2 - 2 = 0$​
则点​$E$​的坐标为​$(2，$​​$2)，$​点​$F $​的坐标为​$(2，$​​$0)$​
∴​$EF = 2 - 0 = 2$​
当​$x = 4$​时，​$y_{1} = -4 + 4 = 0，$​​$y_{2} = 4 - 2 = 2$​
则点​$E$​的坐标为​$(4，$​​$0)，$​点​$F $​的坐标为​$(4，$​​$2)$​
∴​$EF = 2 - 0 = 2$​
​$②$​由​$(1)，$​得点​$B$​的坐标为​$(3，$​​$1)$​
∴当​$x = 3$​时，直线​$l_{1}$​与直线​$l_{2}$​相交
当​$x\leq 3$​时，​$y = -x + 4-(x - 2)=-2x + 6$​
当​$x>3$​时，​$y = x - 2-(-x + 4) = 2x - 6$​
∴线段​$EF $​的长​$y$​与​$x$​之间的函数表达式
为​$y = \begin {cases}-2x + 6(x\leq 3)\\2x - 6(x>3)\end {cases}$​
函数图象​$L $​如图所示

​$③k$​的取值范围为​$-1＜k＜2，$​且​$k\neq 0。$​
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