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解：​$(1)①$​由题意得​$2y_{1} = 0.5x，$​∴​$y_{1}=\frac {0.5x}2=\frac 14x$​
②解：由​$①$​得​$y_{1} = \frac 14x，$​∵​$\frac 14＞0，$​∴​$y_{1}$​是关于​$x$​的一次函数，且​$y_{1}$​的值随​$x$​值的增大而增大
当​$x = 0$​时，​$y_{1}=\frac 14×0 = 0；$​当​$x = 48$​时，​$y_{1}=\frac 14×48 = 12$​
又∵​$0＜x＜48，$​∴​$y_{1}$​的取值范围为​$0＜y_{1}＜12$​
​$ (2)①$​设​$y_{2}$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y_{2} = kx + b$​
将​$(2，$​​$1)$​和​$(4，$​​$1.5)$​分别代入​$y_{2} = kx + b$​中，得​$\begin {cases}2k + b = 1\\4k + b = 1.5\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{k=\frac 14}\\{b=\frac 12}\end {cases}$​
∴​$y_{2}$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y_{2}=\frac 14x+\frac 12，$​函数图象如图所示
​$ ②$​由​$①$​得​$y_{2}=\frac 14x+\frac 12$​
∵​$\frac 14＞0，$​∴​$y_{2}$​的值随​$x$​值的增大而增大
当​$x = 30$​时，​$y_{2}=\frac 14×30+\frac 12=8$​
∴可称重物的最大质量为​$8\ \mathrm {kg}$​
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