解：$(1)$如图$①，$作点$P $关于$OB$的对称点$P'，$
点$P $关于$OA$的对称点$P''，$连接$P'P''$交$OB$于点$R，$
交OA于点Q，连接OP'，OP''，PP'，PP''
∵点$P $与$P'$关于$OB$对称，点$P $与$P''$关于$OA$对称
∴$OP = OP'，$$OP = OP''，$$R P = R P'，$$QP = QP''$
即OP' = OP''
∴$\triangle PQR $的周长为$R P + R Q + QP$
$ = R P' + R Q + QP'' = P'P''$
此时△PQR的周长最小，且最小值为P'P''的长
∵$OB$垂直平分$PP'，$$OA$垂直平分$PP''$
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4
∴$∠P'OP'' = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 $
= 2(∠2 + ∠3) = 2∠AOB = 60°
又∵$OP' = OP''，$∴$\triangle P'OP''$为等边三角形
∴$P'P'' = OP' = OP = 10$
即△PQR周长的最小值为10
$ (2) $如图$②，$作点$M$关于$OB$的对称点$M'，$
点$N$关于$OA$的对称点$N'，$连接$M'N'$交$OB$于点$P，$
交OA于点Q，连接ON'，OM'，MM'，NN'
∵点$M$与$M'$关于$OB$对称，点$N$与$N'$关于$OA$对称
∴$OM' = OM = 2，$$ON' = ON = 2，$
MP = M'P，QN = QN'，即OM' = ON' = 2
∴$MP + PQ + QN = M'P + PQ + QN' = M'N'$
此时MP + PQ + QN的值最小，且最小值为M'N'的长
∵$OB$垂直平分$MM'，$$OA$垂直平分$NN'$
∴∠M'OB = ∠AOB = 20°，∠N'OA = ∠AOB = 20°
∴$∠M'ON' = 60°$
又∵$OM' = ON'$
∴$\triangle M'ON'$为等边三角形
∴$M'N' = OM' = 2$
即$MP + PQ + QN$的最小值为$2$
