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证明：​$(1)$​在​$∆ABC$​和​$∆DFE$​中
​$\begin {cases}{AB=DF}\\{AC=DE}\\{ BC=FE}\end {cases}$​
∴​$∆ABC≌∆DFE(\mathrm {SSS})$​
∴​$∠ACB =∠DEF，$​即​$∠G CE=∠GEC$​
∴​$GE=G C，$​∴​$∆GEC$​是等腰三角形
​$ (1) $​证明：由题意得​$AD = CE，$​​$AC = CB，$​​$∠A = ∠BCE = 60°$​
​$ $​在​$∆ACD$​和​$∆CBE$​中
​$ \begin {cases}AD = CE \\∠A=∠BCE \\AC = CB\end {cases}$​
∴​$∆ACD≌∆CBE(S AS)$​
​$ (2) $​解：​$∠BF C$​的大小无变化。理由如下：
​$ $​由​$(1)，$​得​$∆ACD≌∆CBE，$​∴​$∠ACD = ∠CBE$​
∵​$∆ABC$​是等边三角形，∴​$∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°$​
∵​$∠ACB = ∠ACD + ∠BCF，$​∴​$∠CBE + ∠BCF = 60°$​
∵​$∠BF C + ∠CBE + ∠BCF = 180°$​
∴​$∠BF C = 180° - (∠CBE + ∠BCF)=120°$​
∴​$∠BF C$​的大小无变化
​$ (1) $​证明：∵​$∠ACF = ∠A + ∠ABF，$​​$∠ECF = ∠BP C + ∠DBF，$​
​$∠A = 78°，$​​$∠BP C = 39°$​
∴​$∠ABF = ∠ACF - 78°，$​​$∠DBF = ∠ECF - 39°$​
∵​$CE$​平分​$∠ACF，$​∴​$∠ACF = 2∠ECF$​
∴​$∠ABF = 2∠ECF - 78° = 2(∠ECF - 39°)=2∠DBF$​
∴​$BD$​平分​$∠ABC$​
​$ (2) $​解：连接​$AQ，$​​$CQ，$​过点​$Q $​作​$QN⊥BA，$​交​$BA$​的延长线于点​$N$​
∵​$QG $​垂直平分​$AC，$​∴​$AQ = CQ$​
​$ $​由​$(1)，$​得​$BD$​平分​$∠ABC，$​且​$QM⊥BC，$​∴​$QM = QN$​
​$ $​在​$Rt∆QNA$​和​$Rt∆QMC$​中
​$ \begin {cases}QN = QM \\AQ = CQ\end {cases}$​
∴​$Rt∆QNA≌Rt∆QMC(\mathrm {HL})，$​∴​$NA = MC$​
​$ $​在​$Rt∆QNB$​和​$Rt∆QMB$​中
​$ \begin {cases}QN = QM \\BQ = BQ\end {cases}$​
∴​$Rt∆QNB≌Rt∆QMB(\mathrm {HL})，$​∴​$BN = BM$​
​$ $​又​$BC = BM + MC，$​​$BN = AB + NA$​
∴​$BC = BN + MC = AB + 2MC$​
​$ $​又​$BC = 7，$​​$AB = 4，$​∴​$7 = 4 + 2MC，$​解得​$MC = 1.5$​
​$ $​则​$MC$​的长为​$1.5$​
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