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解：​$(1)$​∵​$DE⊥AB，$​∴​$∠BED = 90°$​
​$ $​又​$F $​为​$BD$​的中点，∴​$EF = \frac 12BD$​
​$ $​又​$BD = 10，$​∴​$EF = 5$​
​$ (2) ∆DEF，$​​$∆BEF，$​​$∆DCF，$​​$∆BCF，$​​$∆CEF $​都是等腰三角形
​$ (3) ∠A = ∠CEF，$​证明如下：
​$ $​由​$(1)$​得​$∠BED = 90°$​
又​$∠ACB = 90°，$​​$F $​为​$BD$​的中点
∴​$FE = F B = \frac 12BD，$​​$F C = \frac 12BD，$​即​$FE = F B = FC$​
∴​$∠CEF = ∠ECF，$​​$∠F EB = ∠F BE，$​​$∠F CB = ∠F BC$​
​$ $​又​$∠EF D = ∠F EB + ∠F BE，$​​$∠CF D = ∠F CB + ∠F BC$​
∴​$∠EF D = 2∠F BE，$​​$∠CF D = 2∠F BC$​
∴​$∠CFE = ∠EF D + ∠CF D = 2(∠F BE + ∠F BC)$​
​$ $​又​$∠CFE + ∠CEF + ∠ECF = 180°$​
∴​$∠CEF = \frac 12(180° - ∠CFE) = \frac 12(180° - 2∠F BE - 2∠F BC)=90° - ∠F BE - ∠F BC$​
∵​$∠A + ∠ABC = 90°，$​​$∠ABC = ∠F BE + ∠F BC$​
∴​$∠A = 90° - ∠ABC = 90° - ∠F BE - ∠F BC$​
∴​$∠A = ∠CEF$​

​$(1) $​证明：∵​$∆ABC$​是等边三角形，∴​$AB = AC$​
∵点​$P $​与点​$A$​重合，∴​$P B = AB，$​​$P C = AC，$​​$P A = 0$​
∴​$P A + P B = P C$​或​$P A + P C = P B$​
解：​$(2)\ \mathrm {P} A + P C = P B，$​证明如下：
如图，在​$BP $​上截取​$BF = CP，$​连接​$AF$​
∵​$∆ABC$​和​$∆ADE$​都是等边三角形
∴​$AB = AC，$​​$AD = AE，$​​$∠BAC = ∠DAE = 60°$​
∴​$∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，$​即​$∠BAD = ∠CAE$​
在​$∆BAD$​和​$∆CAE$​中
​$\begin {cases}AB = AC \\∠BAD=∠CAE \\AD = AE\end {cases}$​
∴​$∆BAD≌∆CAE(S AS)，$​∴​$∠ABD = ∠ACE$​
在​$∆CAP $​和​$∆BAF $​中
​$\begin {cases}CP = BF \\∠ACP=∠ABF \\AC = AB\end {cases}$​
∴​$∆CAP≌∆BAF(S AS)$​
∴​$∠CAP = ∠BAF，$​​$AP = AF$​
∴​$∠CAP + ∠CAF = ∠BAF + ∠CAF，$​即​$∠F AP = ∠BAC = 60°$​
∴​$∆AFP $​是等边三角形
∴​$PF = P A$​
∴​$P A + P C = PF + BF = P B$​
​$(3)\ \mathrm {P} A + P B = P C$​
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