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第2页

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$135^{\circ}$

解：$(1)$∵$∠EDA=∠B+∠BAD，$$∠EAD=∠EDA$

∴$∠EAD=∠B+∠BAD，$即$∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD$

∵$AD$平分$∠BAC，$∴$∠CAD=∠BAD，$∴$∠EAC=∠B$

∵$∠B = 54°，$∴$∠EAC = 54°$

$ (2)$由$(1)，$得$∠CAD=∠BAD$

设$∠CAD = 2x，$则$∠E = 5x，$$∠BAD = 2x$

∵$∠B = 54°，$∴$∠EAD=∠EDA=∠B+∠BAD=2x + 54°$

∵$∠EDA+∠EAD+∠E = 180°$

∴$2x + 54°+2x + 54°+5x = 180°，$解得$x = 8°，$即$∠E = 5x = 40°$

解：$ (1)$连接$AP$

∵$BD$是边$AC$上的高，$PE\perp AB，$$PF\perp AC，$

且$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}，$$S_{\triangle ABC}=\frac 12\ \mathrm {A}C·BD，$

$S_{\triangle ABP}=\frac 12\ \mathrm {A}B·PE，$$S_{\triangle ACP}=\frac 12\ \mathrm {A}C·PF$

∴$\frac 12\ \mathrm {A}C·BD=\frac 12\ \mathrm {A}B·PE+\frac 12\ \mathrm {A}C·PF$

∵$AB = AC，$∴$PE + PF = BD$

$ (2)$不成立。理由如下：

如图①，当点$P $在线段$BC$的延长线上时，连接$AP$

则$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACP}$

同理，得$\frac 12\ \mathrm {A}B·PE=\frac 12\ \mathrm {A}C·BD+\frac 12\ \mathrm {A}C·PF$

∵$AB = AC，$∴$PE = BD + PF，$即$PE - PF = BD$

如图②，当点$P $在线段$CB$的延长线上时，连接$AP，$

则$S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABP}$

同理，得$\frac 12\ \mathrm {A}C·PF=\frac 12\ \mathrm {A}C·BD+\frac 12\ \mathrm {A}B·PE$

∵$AB = AC，$∴$PF = BD + PE，$即$PF - PE = BD$