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​$(1)$​证明：∵​$AD$​平分​$∠BAC，$​​$DE\perp AB，$​​$DF\perp AC，$​∴​$DE = DF$​
∵​$S_{\triangle ADB}=\frac 12\ \mathrm {A}B·DE，$​​$S_{\triangle ADC}=\frac 12\ \mathrm {A}C·DF$​
∴​$S_{\triangle ADB}∶S_{\triangle ADC}=AB∶AC$​
​$(2)$​证明：如图①，过点​$A$​作​$AH\perp BD$​于点​$H，$​过点​$D$​分别
作​$DE\perp AF，$​​$DG\perp AC，$​垂足分别为​$E，$​​$G$​
又​$AD$​平分​$∠F AC，$​∴​$DE = DG$​
又​$S_{\triangle ABD}=\frac 12\ \mathrm {A}B·DE，$​​$S_{\triangle ACD}=\frac 12\ \mathrm {A}C·DG$​
∴​$S_{\triangle ABD}∶S_{\triangle ACD}=AB∶AC$​
又​$S_{\triangle ABD}=\frac 12BD·AH，$​​$S_{\triangle ACD}=\frac 12CD·AH$​
∴​$S_{\triangle ABD}∶S_{\triangle ACD}=BD∶CD，$​即​$AB∶AC = BD∶CD$​

​$(3)$​证明：如图②，延长​$BE$​至点​$M，$​使​$EM = DC，$​连接​$AM$​
∵​$AB$​平分​$∠DAE，$​∴​$∠DAC=∠BAE$​
∵​$∠D+∠AEB = 180°，$​​$∠AEB+∠AEM = 180°，$​∴​$∠D=∠AEM$​
又​$AD = AE，$​∴​$\triangle ADC≌\triangle AEM(S AS)$​
∴​$∠DAC=∠EAM=∠BAE，$​​$AC = AM，$​即​$AE$​为​$∠BAM$​的平分线
易得​$S_{\triangle ABE}∶S_{\triangle AEM}=AB∶AM = BE∶EM$​
∴​$BE∶CD = AB∶AC$​
C
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​$ (1)$​证明：过点​$A$​作​$AH\perp BC$​于点​$H$​
∵​$BC = DE，$​​$∠C=∠E，$​​$CA = EA$​
∴​$\triangle ABC≌\triangle ADE(S AS)$​
∴​$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADE}$​
​$ $​又​$S_{\triangle ABC}=\frac 12BC·AH，$​​$S_{\triangle ADE}=\frac 12DE·AF$​
∴​$\frac 12BC·AH=\frac 12DE·AF$​
∴​$AH = AF$​
​$ $​又​$AF\perp DE，$​∴​$G A$​平分​$∠DG B$​
​$ (2)$​解：由​$(1)$​得​$\triangle ABC≌\triangle ADE，$​​$AH = AF$​
∴​$AB = AD$​
∴​$Rt\triangle ADF≌ Rt\triangle ABH(\mathrm {HL})$​
∴​$S_{\triangle ADF}=S_{\triangle ABH}$​
​$ $​又​$S_{四边形DG BA}=S_{\triangle ADF}+S_{四边形FG BA}=2$​
∴​$S_{四边形AFGH}=S_{\triangle ABH}+S_{四边形FG BA}=S_{\triangle ADF}+S_{四边形FG BA}=2$​
​$ $​又​$AG = AG，$​∴​$Rt\triangle AFG≌Rt\triangle AHG(\mathrm {HL})$​
∴​$S_{\triangle AFG}=S_{\triangle AHG}=\frac 12 S_{四边形AFGH}=1$​
∵​$AF=\frac 32，$​​$S_{\triangle AFG}=\frac 12FG·AF$​
∴​$FG=\frac {2S_{\triangle AFG}}{AF}=\frac {2×1}{\frac 32}=\frac 43$​
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