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$ (1) 证明： $

 过点$A$作$AH\perp BC，$垂足为$H。$

 因为$CD$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle AHB = \angle AHC=\angle BDC = 90^{\circ}。$

 在$Rt\triangle ABH$中，$\angle BAH+\angle ABC = 90^{\circ}，$在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BCD+\angle ABC = 90^{\circ}，$所以$\angle BAH=\angle BCD。$

 又因为$\angle BAC = 2\angle BCD，$所以$\angle BAC = 2\angle BAH，$则$\angle BAH=\angle CAH。$

 在$\triangle ABH$和$\triangle ACH$中，$\begin{cases}\angle AHB=\angle AHC\\AH = AH\\\angle BAH=\angle CAH\end{cases}，$所以$\triangle ABH\cong\triangle ACH(ASA)，$所以$BH = CH。$

 因为$\angle APC = 60^{\circ}，$$\angle AHP = 90^{\circ}，$所以$\angle PAH=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}，$在$Rt\triangle APH$中，$PA = 2PH。$

 因为$PB=PH - BH，$$PC=PH + HC，$且$BH = CH，$所以$PB + PC=PH - BH+PH + CH=2PH=PA。$

$(2)②:PC-PB=PA$

$③:PB-PC=PA$