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 证明：过点$D$作$DG// AF$交$BC$于点$G。$

 因为$DG// AF，$所以$\angle ECF = \angle EGD，$$\angle DGB=\angle ACB。$

 又因为$AB = AC，$所以$\angle ABC = \angle ACB，$则$\angle ABC = \angle DGB，$所以$BD = DG。$

 因为$BD = CF，$所以$DG = CF。$

 在$\triangle DGE$和$\triangle FCE$中，$\begin{cases}\angle EGD=\angle ECF \\ \angle DEG=\angle FEC \\ DG = FC\end{cases}，$

 所以$\triangle DGE\cong\triangle FCE(AAS)，$所以$DE = EF。$

$解:(1)PN=2BM,证明:$

$如图,作PF//AC交BC于点F,交BD于点E$

$∵BD⊥AC,PF//AC,∴PF⊥BD,∠BPE=∠A=45°$

$∴∠BEP=90°,∴∠BPE=∠PBE=45°,∴BE=PE$

$∵PM⊥BC,∴∠PMB=∠PEN=90°$

$∵∠BNM=∠PNE,∴∠NPE=∠EBF$

$∵∠PEN=∠BEF=90°,∴△PEN≌△BEF(ASA,∴PN=BF$

$∵AB=AC,∴∠ABC=∠C$

$∵∠PFB=∠C,∴∠ABC=∠PFB,∴PB=PF$

$∵PM⊥BF,∴BM=MF,∴PN=2BM$

$ (2) $

$ (1)中的结论成立。 $

 证明：作$PF// AC$交$CB$的延长线于点$E，$交$DB$的延长线于点$F。$

 因为$\angle ABD=\angle PBF，$$\angle BPF = 45^{\circ}，$所以$BF = PF。$

 因为$\angle EBF=\angle EPM，$$\angle EFB=\angle EFN = 90^{\circ}，$$BF = PF，$

 所以$\triangle BFE\cong\triangle PFN(ASA)，$所以$PN = BE。$

 因为$\angle E=\angle C=\angle ABC=\angle PBE，$所以$PE = PB。$

 因为$PM\perp EB，$所以$EM = BM，$所以$PN = 2BM。$

 证明：过点$C$作$CM// AB$交$AD$的延长线于点$M。$

 则$\angle M=\angle EFD，$$\angle EDF=\angle CDM。$

 因为$DE = CD，$所以$\triangle EDF\cong\triangle CDM(AAS)，$所以$EF = CM。$

 因为$EF = AC，$所以$AC = CM，$所以$\triangle ACM$为等腰三角形，所以$\angle DAC=\angle M。$

 又因为$AD$平分$\angle BAC，$所以$\angle BAD=\angle DAC，$所以$\angle EFD=\angle BAD，$所以$EF// AB。$