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证明:在$BC$的延长线上截取$CH = AC，$在$BC$上截取$CE = CA。$

 因为$BC = 2AC，$所以$BE = CE = AC。$

 因为$AC = CH，$所以$\angle H=\angle CAH，$又因为$\angle ACB = 2\angle B，$所以$\angle H=\angle B，$所以$AH = AB。$

 又$HC = BE，$所以$\triangle AHC\cong\triangle ABE(SAS)，$所以$AE = AC，$所以$AE = AC = CE，$$\triangle ACE$是等边三角形，所以$\angle ACB = 60^{\circ}，$$\angle B = 30^{\circ}，$所以$\angle BAC = 90^{\circ}。$

 (2) 证明：延长$CE$与$BA$交于点$F。$

 因为$\angle ABC = 45^{\circ}，$$AB = AC，$所以$\angle BAC = 90^{\circ}。$

 因为$CE\perp BD，$所以$\angle BAC=\angle DEC。$

 又因为$\angle ADB=\angle CDE，$所以$\angle ABD=\angle DCE。$

 在$\triangle BAD$和$\triangle CAF$中，$\begin{cases}\angle BAD=\angle CAF \\ AB = AC \\ \angle ABD=\angle ACF\end{cases}，$

 所以$\triangle BAD\cong\triangle CAF(ASA)，$所以$BD = CF。$

 因为$BD$平分$\angle ABC，$$CE\perp DB，$

 在$\triangle BEF$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}\angle FBE=\angle CBE \\ BE = BE \\ \angle BEF=\angle BEC\end{cases}，$

 所以$\triangle BEF\cong\triangle BEC(ASA)，$所以$CE = EF，$所以$BD = 2CE。$

 (3) $S_{\triangle ACE}=\frac{1}{8}m$

解: 方法1：（截长法）

 在$CD$上取点$E，$使$DE = BD，$连接$AE。$

 因为$AB + BD = DC，$所以$CE = AB。$

 因为$AD\perp BC，$$DE = BD，$所以$AB = AE，$则$AE = CE，$$\angle B=\angle AED=\angle C+\angle CAE = 2\angle C。$

 因为$\angle BAC = 120^{\circ}，$所以$\angle B+\angle C=2\angle C+\angle C = 60^{\circ}，$解得$\angle C = 20^{\circ}。$

 方法2：（补短法）

 延长$DB$至点$F，$使$BF = AB，$连接$AF。$

 因为$AB + BD = DF = CD，$所以$AF = AC，$$\angle C=\angle F=\frac{1}{2}\angle ABC。$

 因为$\angle BAC = 120^{\circ}，$所以$\angle ABC+\angle C=\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ABC = 60^{\circ}，$解得$\angle ABC = 40^{\circ}，$所以$\angle C = 20^{\circ}。$