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证明：因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch，$所以$ab = ch，$则$h=\frac{ab}{c}。$
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}，$
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}，$
所以$\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}b^{2}}=(\frac{c}{ab})^{2}，$
又因为$h = \frac{ab}{c}，$所以$(\frac{c}{ab})^{2}=(\frac{1}{h})^{2}=\frac{1}{h^{2}}，$即$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{h^{2}}。$
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